Cone

 Nota: Para outros significados, veja Cone (desambiguação).

Um cone.

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

Classificação

Os cones podem ser divididos em:

• Reto
• Oblíquo
• Equilátero

Reto

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo é oblíquo ao plano da base.

Equilátero

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

Fórmulas

O volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, é 1/3 do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja, $V = \frac{1}{3}\pi r^{2} \cdot h$. O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo, a 1/4 da distância da base ao eixo.

A área da superfície de um cone A é dada por A = πr(r + s), onde $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ seria a altura lateral do cone. O primeiro termo na área da fórmula, πr², é a área da base; enquanto que o segundo termo, πrs, é a área da superfície inclinada.

Desenvolvendo, então, a área total é a área lateral mais a área da base: $At = \pi r \cdot s + \pi r^2$.

Para triângulos equiláteros

A área da base do cone é:

A(base) = πr²

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)² = h² + r², logo h² = 4r² − r² = 3r², assim:

$h = r\sqrt{3}$

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

$V = \frac{\pi r^3 \sqrt{3}}{3}$

Como a área lateral pode ser obtida por:

$A(lateral) = \pi \cdot r \cdot g = \pi \cdot r \cdot 2r = 2 \cdot \pi \cdot r^2$

então a área total será dada por:

A(total) = 3πr²

Ver também

• Cônica
• Quádrica
• Círculo
• Circunferência
• Elipse
• Parábola
• Hipérbole
• Reta
• Ciclóide
• Cardióide
• Leminiscata
• Espiral