Cone

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Um cone.

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto qualquer de uma mesma região plana R (delimitada por uma curva suave, a base).

Classificação[editar | editar código-fonte]

Os cones podem ser divididos em:

  • Reto;
  • Oblíquo;
  • Equilátero.

Reto[editar | editar código-fonte]

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo[editar | editar código-fonte]

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Equilátero[editar | editar código-fonte]

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

Fórmulas[editar | editar código-fonte]

O volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, é 1/3 do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja, V = \frac{1}{3}\pi r^{2} \cdot h . O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo, a 1/4 da distância da base ao eixo.

A área da superfície de um cone A é dada por A = \pi r (r + g), onde g = \sqrt{r^2 + h^2} seria a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo na área da fórmula, \pi r^2, é a área da base; enquanto que o segundo termo, \pi r g, é a área da superfície inclinada.

Desenvolvendo, então, a área total é a área lateral mais a área da base:

 A = \pi r \cdot g + \pi r^2.

Com uso de cálculo integral[editar | editar código-fonte]

Um cone pode ser obtido através da revolução da função y=\frac {r}{h}x onde r e h são o raio da base e a altura do cone, respectivamente.

Note que a área da seção circular do cone é dada por A=\pi y^2 , substituindo y=\frac {r}{h}x temos: A=\pi (\frac {r}{h}x)^2 .

Para um deslocamento dx tem-se o incremento de volume

dV=\pi (\frac {r^2}{h^2})x^2 dx ,

integrando de 0 a h obtém-se o volume:

\int_{0}^{h} dV=\pi \frac {r^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 dx

Resolvendo a integral temos o volume do cone:

V = \frac{1}{3}\pi r^{2} \cdot h .

O cálculo da área superficial do cone se divide em duas partes, o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral;

A base é um círculo logo sua área é expressa por:

A(base)=\pi r^2  ;

Já a área lateral envolve um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume, no entanto devemos considerar um deslocamento dL sobre a reta y=\frac {r}{h}x .

Pelo Teorema de Pitágoras temos que dL^2=dy^2+dx^2 , desenvolvendo temos:

dL=\sqrt{\frac {dy^2}{dx^2}+1}dx

Considerando a rotação do segmento dL em torno do eixo x temos que o incremento de área dA=(2 \pi y)dL , substituindo y e dL , temos:

dA=((2 \pi \frac {r}{h}x)\sqrt{\frac {dy^2}{dx^2}+1})dx

note, ainda que \frac {dy}{dx}=\frac {r}{h} , logo:

dA=((2 \pi \frac {r}{h}x)\sqrt{\frac {r^2}{h^2}+1})dx

integrando de 0 a h , temos:

\int_{0}^{h} dA=\int_{0}^{h} ((2 \pi \frac {r}{h}x)\sqrt{\frac {r^2}{h^2}+1})dx

resolvendo a integral temos:

A= \pi r \sqrt{r^2+h^2}

onde, frequentemente, o termo \sqrt{r^2+h^2} é substituído por g (geratriz).

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

A(total)= \pi r (g+r) .

Para cones equiláteros[editar | editar código-fonte]

A área da base do cone é:

A(base) = \pi r^2

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)^2 = h^2 + r^2, logo h^2 = 4r^2 - r^2 = 3r^2, assim:

h = r\sqrt{3}

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = \frac{\pi r^3 \sqrt{3}}{3}

Como a área lateral pode ser obtida por:

A(lateral) = \pi \cdot r \cdot g = \pi \cdot r \cdot 2r = 2 \cdot \pi \cdot r^2

então a área total será dada por:

A(total) = 3 \pi r^2

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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