Congruência triangular

Casos de congruência de triângulos (ou simplesmente, congruência triangular) são critérios creditados a Tales de Mileto, dados a dois ou mais triângulos para estabelecer que estes são congruentes (podendo dizer que são idênticos, ou seja, com todas as medidas iguais). Há cinco conhecidos casos de congruência triangular:

Definição

Dois triângulos congruentes.

Um triângulo é congruente (símbolo $\equiv$) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:

• seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outros;
• seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.

Na figura ao lado temos dois triângulos congruentes.

Assim, pela definição de triângulos congruentes temos:

$\triangle {\text{ABC}}\equiv {\triangle {\text{A'B'C'}}}\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{cases}{\overline {\text{AB}}}\equiv {\overline {\text{A'B'}}}\\{\overline {\text{AC}}}\equiv {\overline {\text{A'C'}}}\\{\overline {\text{BC}}}\equiv {\overline {\text{B'C'}}}\end{cases}}\qquad {\text{e}}\qquad {\begin{matrix}{\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\\{\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\\{\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\end{matrix}}$

Propriedades

A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.

Essas propriedades, de reflexão, simetria e transitividade na congruência de triângulos podem expressas da seguinte forma:

• Todo triângulo é congruente a si mesmo (reflexiva): $\triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{ABC}}$.
• Se um triângulo é congruente a outro, então este outro é congruente ao primeiro (simétrica): $\triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{DEF}}\Rightarrow \triangle {\text{DEF}}\equiv \triangle {\text{ABC}}$.
• Se um triângulo é congruente a outro e este outro é congruente a um terceiro triângulo, então o primeiro triângulo é congruente ao terceiro (transitiva): $\triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{DEF}}\quad {\text{e}}\quad \triangle {\text{DEF}}\equiv \triangle {\text{GHI}}\quad \Rightarrow \quad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{GHI}}$

Casos de congruência

A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes. Existem o que podemos chamar de "condições mínimas" para que dois triângulos sejam congruentes. Essas condições são chamadas casos ou critérios de congruência.

Caso LAL (lado, ângulo, lado)

Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:

"Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então esses triângulos são congruentes."

Esta proposição é um postulado (aceito sem demonstração) e indica que, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, então o lado restante e os outros dois ângulos restantes também são ordenadamente congruentes.

Caso ALA (ângulo, lado, ângulo)

Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:

Imagem de suporte para demonstração.

"Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes."

Diferente do caso $LAL$, essa proposição não é um postulado. Para podermos aplicá-la, precisamos fazer sua demonstração.

Demonstração

Para provar esse caso de congruência, vamos, primeiramente, enunciá-lo na forma de um teorema utilizando as informações geométricas da figura ao lado:

Sejam os triângulos ${\textstyle \triangle {\text{ABC}}}$ e ${\textstyle \triangle {\text{A'B'C'}}}$, vamos demonstrar que:

${\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{A'B'C'}}$

Imagem suporte para demonstração

Para fazer essa demonstração, partiremos da hipótese e buscaremos provar que ${\overline {BA}}\equiv {\overline {B'A'}}$, de modo a cair no caso de congruência $LAL$.

Pelo postulado do transporte de segmentos, podemos obter na semirreta ${\overrightarrow {B'A'}}$ um ponto $X$ tal que ${\overline {B'X}}\equiv {\overline {BA}}$.

Assim, dessa construção, temos que o triângulo $\triangle {\text{ABC}}$ é congruente ao triângulo $\triangle {\text{XB'C'}}$. Isso pode ser enunciado da seguinte forma:

${\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BA}}\equiv {\overline {B'X}}\qquad \Rightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{XB'C'}}\left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow {B{\hat {C}}A}\equiv {B'{\hat {C'}}X}$.

Utilizando essas informações, voltaremos a nossa hipótese. Por hipótese temos que $B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}A'}$ e agora temos que $B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}X}$.

Observaremos que, através dessa informações, temos que as retas ${\overleftrightarrow {B'A'}}$ e ${\overleftrightarrow {C'X}}$ se interceptam em um único ponto, que é o ponto $X$.

Da mesma forma, temos também que as retas ${\overleftrightarrow {B'A'}}$ e ${\overleftrightarrow {C'A'}}$ também se interceptam em um único ponto, que é o ponto $A'$.

Assim, pelo postulado do transporte de ângulos e pelas congruências $B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}A'}$ e $B{\hat {C}}A\equiv {B'{\hat {C'}}X}$, temos que os pontos $X$ e $A'$ são coincidentes.

Logo, como $X\equiv {A'}$ e ${\overline {B'X}}\equiv {\overline {BA}}$, implica ${\overline {B'A'}}\equiv {\overline {BA}}$.

Com essa última informação caímos no primeiro caso de congruência ($LAL$) e demonstramos que:

${\hat {B}}\equiv {\hat {B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\equiv {\hat {C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {\text{ABC}}\equiv \triangle {\text{A'B'C'}}$.

Logo, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.

Caso LLL (lado, lado, lado)

Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:

Visualização do caso de congruência triangular lado-lado-lado

"Se dois triângulos têm ordenadamente os três lados respectivos congruentes, então esses dois triângulos são congruentes."

Observe os dois triângulos ao lado. O triângulos $\triangle {ABC}$ e $\triangle {A'B'C'}$ possuem seus respectivos lados congruentes. Isso implica que os dois triângulos são congruentes.

Isso pode ser enunciado da seguinte forma:

${\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ABC}\equiv \triangle {A'B'C'}$

Diferente do caso $LAL$, essa proposição não é um postulado. Para podermos aplicá-la precisamos fazer sua demonstração.

Imagem suporte para demonstração

Demonstração

Precisamos mostrar que, se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes.

Para isso, vamos, primeiramente, enunciar esse teorema com notação matemática adequada.

${\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {BC}}\equiv {\overline {B'C'}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'C'}}$

Para prosseguir, utilizaremos o postulado do transporte de ângulos e o postulado do transporte de segmentos de modo a obter um ponto $X$ no semiplano oposto ao de $C'$ em relação à reta ${\overleftrightarrow {A'B'}}$, tal que

$X{\hat {A'}}B'\equiv {C{\hat {A}}B}$

e

${\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}$

Imagem suporte para demonstração

Assim, através dessa última relação, podemos perceber, por transitividade, que ${\overline {A'X}}\equiv {\overline {A'C'}}$ (uma vez que ${\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}$).

Dessas informações, temos a congruência dos triângulos $\triangle {ABC}$ e $\triangle {A'B'X}$:

${\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\quad {\text{e}}\quad {{X{\hat {A}}B}\equiv {C{\hat {A}}B}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {A'X}}\equiv {\overline {AC}}}\qquad \left(LAL\right)\Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'X}}$.

Dessa congruência temos que ${\overline {XB'}}\equiv {\overline {CB}}$ e ${\overline {XB'}}\equiv {\overline {C'B'}}$.

A partir dessas relações podemos ver que os triângulos $\triangle {A'C'X}$ e $\triangle {B'C'X}$ são triângulos isósceles, ambos de base ${\overline {C'X}}$.

Tomando um ponto $D$, que seja o ponto de intersecção de ${\overline {C'X}}$ com a reta ${\overleftrightarrow {A'B'}}$, temos as seguintes congruências, que ocorrem entre os ângulos da base dos triângulos isósceles:

$A'{\hat {C'}}D\equiv {A'{\hat {X}}D}\quad {\text{e}}\quad {D{\hat {C'}}B'}\equiv {D{\hat {X}}B'}$.

Através dessas relações entre os ângulos temos que:

$A'{\hat {C'}}B'=A'{\hat {C'}}D+D{\hat {C'}}B'$

e

$A'{\hat {X}}B'=A'{\hat {X}}D+D{\hat {X}}B'=A'{\hat {C'}}D+D{\hat {C'}}B'$

Assim vemos que $A'{\hat {C'}}B'\equiv {A'{\hat {X}}B'}$.

Assim, temos a congruência entre os triângulos $\triangle {A'B'C'}$ e $\triangle {A'B'X}$ pelo caso $LAL$:

${\overline {A'C'}}\equiv {\overline {A'X}}\quad {\text{e}}\quad {A'{\hat {C'}}B'\equiv {A'{\hat {X}}B'}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {C'B'}}\equiv {\overline {XB'}}\quad \left(LAL\right)\qquad \Longrightarrow }\qquad \triangle {A'B'C'}\equiv \triangle {A'B'X}$

Temos então que $\triangle {ABC}\equiv \triangle {A'B'X}\equiv \triangle {A'B'C'}$. Por transitividade, temos que $\triangle {ABC}\equiv {\triangle {A'B'C'}}$.

Logo, se dois triângulos têm três lados respectivos congruentes, então esses triângulos são congruentes.

Caso especial CH (cateto, hipotenusa)

Esse caso é um caso particular do ${\textstyle LLL}$ e pode ser expresso da seguinte forma:

Caso de congruência cateto-hipotenusa.

"Se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes."

A demonstração desse resultado consiste em provar que, na verdade, esse caso é um caso especial de ${\textstyle LLL}$.

Demonstração

Vamos demonstrar que se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.

Para isso, sejam dados o triângulo retângulo ${\textstyle \triangle {ABC}}$, com hipotenusa medindo ${\textstyle a}$ e catetos medindo ${\textstyle b}$ e ${\textstyle c}$, e o triângulo retângulo ${\textstyle \triangle {A'B'C'}}$, com hipotenusa medindo ${\textstyle a'}$ e catetos medindo ${\textstyle b'}$ e ${\textstyle c'}$. Por hipótese temos ${\textstyle a=a'}$e, sem perda de generalidade, ${\textstyle b=b'}$. Então, do teorema de Pitágoras, temos:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}$$

e

$$(a')^{2}=(b')^{2}+(c')^{2}$$

donde, obtemos ${\textstyle b^{2}+c^{2}=(b')^{2}+(c')^{2}}$ e, como assumimos ${\textstyle b=b'}$, temos ${\textstyle c=c'}$. Isto implica os triângulos dados são congruentes, pelo caso $LLL$. Logo, se dois triângulos retângulos têm congruentes um cateto e a hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.

Visualização do caso de congruência $LAA_{o}$

Caso LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)

Esse caso pode ser expresso da seguinte forma:

"Se dois triângulos têm ordenadamente um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes."

Esse caso de congruência não é um postulado. Portanto, para aplicá-lo, precisamos fazer sua demonstração.

Demonstração

Primeiramente, para fazer essa demonstração, vamos enunciar esse caso de congruência sob a forma de um teorema, utilizando notação matemática adequada.

${\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {C{\hat {A}}B}\equiv {C'{\hat {A'}}B'}\quad {\text{e}}\quad {A{\hat {B}}C}\equiv {A'{\hat {B'}}C'}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}}\equiv {\triangle {A'B'C'}}$ Partindo-se da nossa hipótese, podemos observar que há três possibilidades de relações existentes entre os segmentos ${\overline {AB}}$ e ${\overline {A'B'}}$. Faremos a demonstração a partir de cada uma dessas possibilidades.

• 1° ${\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}$

Nesse primeiro caso podemos facilmente demonstrar a congruência dos triângulos, uma vez que acabamos por cair no caso de congruência $LAL$, pois:

${\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AB}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ABC}\equiv {\triangle {A'B'C'}}}$.

Assim, nessa primeira possibilidade vemos que os dois triângulos são congruentes.

• 

  2° possibilidade.

  2° ${\overline {AB}}<{\overline {A'B'}}$

Como estamos partindo dessa relação acima como sendo verdadeira, tomaremos um ponto $D$ sobre a semirreta ${\overrightarrow {AB}}$ e externo ao segmento ${\overline {AB}}$ de tal modo que ${\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}$.

Se fizermos isso, teremos que os triângulos $\triangle {ACD}$ e $\triangle {A'B'C'}$ são congruentes pelo caso de congruência $LAL$, pois:

${\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ADC}\equiv \triangle {A'B'C'}}$

Essa relação implica que ${\hat {B}}\equiv {\hat {D}}$, por transitividade. Essa relação contradiz a nossa hipótese, através do teorema do ângulo externo, que diz que o ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer ângulo interno não adjacente. Assim, vemos que o ângulo externo ao $\triangle {BDC}$ no vértice $D$ deve ser maior que o ângulo $C{\hat {B}}D$. Porém, vemos que esses dois ângulos são congruentes.

Assim, vemos que essa segunda possibilidade não ocorrerá e podemos, portanto, descartá-la.

• 3° ${\overline {AB}}>{\overline {A'B'}}$

3° possibilidade

Essa possibilidade pode ser anulada da mesma forma que a anterior. Para isso basta apenas tomar o ponto $D$ estando sob o segmento ${\overline {AB}}$, de modo que ${\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}$.

Com isso podemos verificar que os triângulos $\triangle {ACD}$ e $\triangle {A'B'C'}$ são congruentes pelo caso de congruência $LAL$, pois:

${\overline {AC}}\equiv {\overline {A'C'}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {A'}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}\equiv {\overline {A'B'}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {ADC}\equiv \triangle {A'B'C'}}$.

Assim, como na relação anterior temos que ${\hat {B}}\equiv {\hat {D}}$, o que é uma uma contradição, segundo o teorema do ângulo externo.

Logo essa possibilidade também não ocorrerá.

Uma vez que eliminamos a 2° e a 3° possibilidade, ficamos apenas com a primeira, que demonstra o nosso teorema.

Logo podemos afirmar que: se dois triângulos têm ordenadamente um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.