Conjectura de Erdős

A conjectura de Erdős sobre progressões aritméticas foi postulada por Paul Erdős e é tratada na área de combinatória aditiva. Ela afirma que se A é um conjunto de números inteiros positivos em que a soma de seus recíprocos diverge, então esse conjunto possui uma progressão aritmética de qualquer tamanho. Ou seja, se

$\sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}=\infty$

então A possui uma progressão aritmética de tamanho arbitrário.

Essa conjectura tenta generalizar o teorema de Szemerédi. Erdős ofereceu um prêmio de US$3000 para quem resolvesse tal problema. Atualmente, o prêmio oferecido é de US$5000.

O Teorema de Green-Tao é um caso particular dessa conjectura, onde o conjunto A em questão é o conjunto dos números primos.

Referências

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
• P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35–58.
• P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28.