Conjugado transposto

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Em matemática, o conjugado transposto, transposto Hermitiano, ou matriz adjunta de uma matriz m-por-n A com entradas complexas é a matriz n-por-m A* obtida de A por tomar a transposta e então tomar o conjugado complexo de cada entrada. O conjugado complexo é formalmente definido por

(A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}

onde os subscritos denotam a i,j-ésima entrada, para 1 ≤ in e 1 ≤ jm, e a sobrebarra denota um conjugado complexo escalar. (O complexo conjugado de a + bi, onde a e b são reais, é a - bi.)

Esta definição também pode ser escrita como

A^* = (\overline{A})^\mathrm{T} = \overline{A^\mathrm{T}}

onde A^\mathrm{T} \,\! denota a transposta e  \overline A \,\! denota a matriz com os elementos do conjugado complexo.

Outros nomes do transposto conjugado de uma matriz são conjugado Hermitiano, ou transjugado. O transposto conjugado de uma matriz A pode ser notado por qualquer destes símbolos:

Em alguns contextos, A^* \,\! denota a matriz com elementos conjugados complexos matrix, e deste modo o conjugado transposto é notado por A^{*T} \,\! ou A^{T*} \,\!.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Se

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}

então

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.

Observações básicas[editar | editar código-fonte]

Se os elementos de A são reais, então A* coincide com a transposta AT de A.

Uma matriz quadrada A com elementos a_{ij} é chamada

Par se A não é quadrada, as duas matrizes A*A e AA* são ambas e de fato matrizes definidas positivas.

A matriz adjunta A* não deve ser confundida com a matriz adjunta adj(A) (a qual é também algumas vezes chamada apenas "adjunta").

Motivação[editar | editar código-fonte]

O conjugado composto pode ser motivado pela notação que números complexos podem ser representados de modo útil por 2×2 matrizes anti-simétricas, obedecendo adição e multiplicação de matrizes:

a + ib \equiv  \Big(\begin{matrix} a & -b \\ b & a \end{matrix}\Big).

Um matriz m-por-n de números complexos poderia consequentemente ser representada por uma matriz 2m-por-2n de números reais. É, portanto, muito natural que, quando surge essa transposição, uma matriz que seja composta de números complexos, no processo também terá de tomar o complexo conjugado de cada elemento.

Propriedades do conjugado transposto[editar | editar código-fonte]

  • (A + B)* = A* + B* para qualquer duas matrizes A e B de mesmas dimensões.
  • (rA)* = r*A* para qualquer número complexo r e qualquer matriz A. Aqui r* refere-se ao conjugado complexo de r.
  • (AB)* = B*A* para qualquer matriz m-por-n A e qualquer matriz n-por-p B. Note-se que a ordem dos fatores é invertida.
  • (A*)* = A para qualquer matriz A.
  • Se A é uma matriz quadrada, então o det(A*) = (det A)* e o tr(A*) = (tr A)*
  • A é invertível se e somente se A* é invertível, e neste caso nós temos (A*)−1 = (A−1)*.
  • Os autovalores de A* são os complexos conjugados dos autovalores de A.
  • \langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle para qualquer matriz m-por-n A, qualquer vetor x em Cn e qualquer vetor y em Cm. Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle denota o padrão complexo produto interno sobre Cm e Cn.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

A última propriedade apresentada acima mostra que se se vê A como uma transformação linear do espaço de Hilbert Euclideano Cn a Cm, então a matriz A* corresponde ao operador adjunto de A. O conceito de operadores adjuntos entre espaços de Hilbert pode então ser visto como uma generalização do conjugado transposto de matrizes.

Outra generalização é encontrável: supondo-se que A seja um mapa linear de um espaço vetorial complexo V a outro W, então o espaço vetorial conjugado complexo assim como o espaço vetorial transposto são definidos, e nós podemos então tomar o conjugado transposto de A como sendo o complexo conjugado do transposto de A. Ele mapeia o conjugado dual de W ao conjugado dual de V.


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Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]