Conjunto de medida zero

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Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero é uma formalização da idéia de insignificante.

Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.

Mais precisamente falando, se (X,\mathfrak{M}, \nu) é um espaço de medida, um conjunto E\in\mathfrak{M} é dito ter medida zero se:

\nu(E)=0\,

Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.

Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.

Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta[editar | editar código-fonte]

Seja Z um conjunto qualquer na reta. Dizemos que \{B_n\}_{n=1}^{\infty} é uma cobertura de bolas abertas para Z se satisfizer as hipóteses:

  • Z\subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n
  • B_n=(a_n,b_n)\, são bolas abertas com centro em \frac{a_n+b_n}{2} e raio \frac{b_n-a_n}{2}

O comprimento da cobertura \{B_n\} é definido como:

\sum_{n=1}^\infty l(B_n) = \sum_{n=1}^\infty (b_n-a_n)

Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas.

Um conjunto Z é dito ter medida zero se para todo \varepsilon>0, existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a \varepsilon.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números inteiros, \mathbb{Z} tem medida zero.

Sabe-se que \mathbb{Z} é enumerável, portanto pode ser escrito como:

\mathbb{Z}=\{x_j\}_{j=1}^{\infty}

Fixe um \varepsilon>0 arbitrário e considere as bolas:

B_n=(x_j-\varepsilon 2^{-n}, x_j+\varepsilon 2^{-n})
l(B_n)=  2\varepsilon \cdot 2^{-n}

E o comprimento da cobertura \{B_n\}_{n=1}^{\infty} é:

\sum_{n=1}^{\infty}l(B_n)=\sum_{n=1}^{\infty}2\varepsilon \cdot 2^{-n}=\varepsilon

Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
  • É facil ver que se A\subseteq B\, e B tem medida zero, então A também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
  • O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração