Conjunto estacionário

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Em matemática, especialmente na teoria dos conjuntos e teoria dos modelos, há pelo menos três noções1 de conjunto estacionário:

Noção clássica[editar | editar código-fonte]

Se  \kappa \, é um cardinal de incontável cofinalidade,  S \subseteq \kappa \,, e  S \, que intercepta cada conjunto clubenota 1 em  \kappa \,, então  S \, é chamado um conjunto estacionário. Se um conjunto é não-estacionário, então ele é chamado um conjunto fino. Esta noção não deve ser confundida com a noção de um conjunto finonota 2 na teoria dos números.


Se  S \, é um conjunto estacionário e  C \, é um conjunto de clube, então a sua intersecção  S \cap C \, também é estacionária. Porque, se  D \, é qualquer conjunto de clube, então  C \cap D \, é um conjunto de clube porque a interseção de dois conjuntos de clube é clube. Assim  (S \cap C) \cap D = S \cap (C  \cap D) \, não é vazio. Portanto  (S \cap C) \, deve ser estacionária.nota 3


A restrição para cofinalidade incontável é, a fim de evitar trivialidades:

Suponha que \kappa tem cofinalidade contável. Então S\subset\kappa é estacionário em \kappa se, e somente se, \kappa\setminus S é limitado em \kappa.

Em particular, se a cofinalidade de \kappa é \omega=\aleph_0, então todos os dois subconjuntos estacionários de \kappa têm intersecção estacionária.

Este não é mais o caso se a cofinalidade de \kappa é incontável. De facto, suponha \kappa é regular e S\subset\kappa é estacionário. Então, S pode ser particionado em \kappa vários conjuntos estacionários disjuntos. Este resultado é devido ao modelo de Robert M. Solovay.


Se \kappa é um sucessor cardinal, este resultado é devido a Ulam e é facilmente demonstrado por meio da matriz de Ulam.

Noção generalizada[editar | editar código-fonte]

Esta noção é o modelo teórico na natureza e algumas vezes referido como a estacionaridade generalizada. Ela é provavelmente devida a Menachem Magidor, Foremannota 4 e Saharon Shelah e também tem sido utilizada proeminentemente por Woodinnota 5 .

Seja X um conjunto não vazio. Um conjunto C\subset{\mathcal P}(X) é o clube (fechado e sem limites) se e somente se existe uma função F:[X]^{<\omega}\to X de tal modo que C=\{z:F[[z]^{<\omega}]\subset z\}.

Neste caso, [y]^{<\omega} é a coleção de subconjuntos finitos de y.

S\subset{\mathcal P}(X) é estacionário em {\mathcal P}(X) se e somente se reúne a cada subconjunto de clube {\mathcal P}(X).

Para ver a conexão com a a teoria de modelos, observe que, se  M é uma estrutura com universo  X em uma linguagem calculáveis e F é uma função Skolem para M, então, um estacionário S deve conter uma subestrutura elementar de M.

Em verdade, S\subset{\mathcal P}(X) é estacionário se e apenas se para qualquer tal estrutura M existe uma subestrutura elementar de M que pertença a S.2 3

Noção de Jech[editar | editar código-fonte]

Existe também uma noção de subconjunto estacionária de [X]^\lambda, para \lambda um cardinal e X um conjunto de tal forma que |X|\ge\lambda, onde |X|\ge\lambda é o conjunto de subconjuntos de X da cardinalidade \lambda: [X]^\lambda=\{Y\subset X:|Y|=\lambda\}. Esta noção é devida a Thomas Jech. Como antes, S\subset[X]^\lambda é estacionário se e somente se encontra todos os clubes, onde um subconjunto do clube de [X]^\lambda é um conjunto ilimitado sob \subset e fechado sob união de cadeias de comprimento de no máximo \lambda. Em geral, estas noções são diferente, embora, para X=\omega_1 e \lambda=\aleph_0 elas coincidem no sentido de que S\subset[\omega_1]^\omega é estacionário se e apenas se S\cap\omega_1 é estacionário em \omega_1.4 5

A versão adequada do lema de Fodor também é válido para essa noção.


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Notas

  1. Um conjunto clube é um subconjunto de um limite ordinal que é fechado sob a topologia de ordem, e é ilimitado em relação ao limite ordinal. O clube nome é uma contração de "fechada e ilimitada".
  2. Um conjunto fino no sentido criado por Jean-Pierre Serre
  3. Lema de Fodor de Géza Fodor
  4. Matthew Dean Foreman (nascido em 21 de março de 1957) é um teórico de conjunto na Universidade da Califórnia de Irvine. Ele fez contribuições em ampla variedade de áreas de teoria de conjuntos, incluindo teoria descritiva de conjuntos e forçamento.
  5. William Hugh Woodin (nascido em 23 de abril de 1955) é um matemático americano e teórico de conjunto da UC Berkeley. Ele tem feito muitas contribuições notáveis ​​para a teoria dos modelos internos e determinação. Um tipo de cardinal grande, o cardinal Woodin, leva seu nome

Referências

  1. Matthew Foreman, Stationary sets, Chang's Conjecture and partition theory, in Set Theory (The Hajnal Conference) DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comp. Sci., 58, Amer. Math. Soc. , Providence, RI. 2002 pp. 73–94 [[1]]
  2. The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms, and the Nonstationary Ideal por W. Hugh Woodin - em 2010
  3. teoria dos conjuntos: uma vista Fernando Ferreira 1998 [[2]]
  4. Set theory por Thomas Jech • London, 1978
  5. Beschränkte Forcingaxiomepor Thilo V. Weinert 2008 [[3]]
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