Conjunto limitado

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Em matemática, foram desenvolvidos vários conceitos de conjunto limitado cada um adaptado a seu contexto. A ideia de conjunto limitado está intimamente ligada à ideia de conjunto pré-compacto, ou seja, cujo fecho é compacto. Em espaços métricos completos de dimensão finita, estes conceitos coincidem.

Limitação em \R[editar | editar código-fonte]

Um subconjunto dos números reais é limitado se estiver contido num intervalo fechado limitado, ou seja da forma [a,b]~~a<b\,.

Se um subconjunto de \R está contido num intervalo da forma (-\infty,a]\, diz-se limitado superiormente; se está contido num intervalo da forma [a,+\infty)\, diz-se limitado inferiormente.

Definição em um espaço métrico[editar | editar código-fonte]

  • Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Definição em um espaço normado[editar | editar código-fonte]

As definições são equivalentes, frente à desigualdade triangular:

  • Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.
  • Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito centrada na origem.

Definição em um espaço linear topológico[editar | editar código-fonte]

  • Um conjunto E é dito limitado se para toda vizinhança da origem V, existe um escalar \lambda tal que:
E\subseteq \lambda V

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Se A\subseteq B e B é limitado, A é limitado.
  • A união finita de limitados é um conjunto limitado.
  • Todo conjunto pré-compacto E é limitado

Para provar esta última afirmação em um espaço métrico escreva:

E\subseteq \overline{E}\subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B(x,n), B(n,r)\, é a bola de centro x e raio n.

Da compacidade, pode-se tomar uma sub-cobertura finita:

E\subseteq \overline{E}\subseteq \bigcup_{n=1}^{N}B(x,n), B(n,r)\, é a bola de centro x e raio n.

Em espaços lineares topológicos, imite a demonstração substituindo B_{x,n}\,, pot n V\,

Conjuntos d-limitados e \tau-limitados[editar | editar código-fonte]

Todo espaço métrico possui uma topologia induzida pela métrica. Quando este espaço métrico é também um espaço vetorial, pode acontecer de também ser uma espaço linear topológico. Neste caso, o conceito de conjunto limitado na métrica pode diferir do conceito de limitado na topologia. Usa-se a notação d-limitado e tau-limitado.

Cabe observar que um espaço linear topológico Hausdorff nunca é limitado.

Veja também[editar | editar código-fonte]

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