Conjunto vazio
Conjunto vazio ou conjunto nulo[nota 1], representado pelo símbolo
ou pelo símbolo { }, é um conjunto que não possui elementos.[1]. Sua existência é mera consequência do axioma da especificação[2].
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[editar] Definição alternativa
Alguns livros definem o conjunto nulo da seguinte maneira:
[nota 2][nota 3]
[editar] Propriedades
- O conjunto vazio é considerado subconjunto de qualquer outro conjunto[nota 4]
- Demonstração:
- Dado um conjunto A, suponha que
não seja subconjunto de A. Para que tal suposição seja verdadeira, o seguinte deve ser verdadeiro:
[nota 5]- Porém, como não existe x algum em
, a suposição é falsa. Consequentemente:
[nota 6]
- A intersecção do conjunto vazio com qualquer conjunto A é o próprio conjunto vazio[nota 8]. Matematicamente:
[editar] Conjunto vazio não é o mesmo que conjunto com o número zero
Não confunda o conjunto vazio com o conjunto unitário cujo único elemento é o número zero. Este segundo conjunto é diferente e escreve-se desta forma: {0}
Um conjunto pode ser composto por qualquer coisa: letras, nomes, números, algarismos, pessoas, objetos, animais, etc. Veja exemplos:
- Conjunto das pessoas que moram na minha casa é um conjunto cujos elementos são pessoas;
- Conjunto dos satélites naturais do planeta Terra é um conjunto unitário, cujo único elemento é um satélite: a Lua;
- Conjunto dos meses do ano que possuem menos de 30 dias é um conjunto unitário, cujo único elemento é um mês: fevereiro;
- Conjunto dos números que não são nem negativos, nem positivos é um conjunto unitário, cujo único elemento é um número: o zero;
- Conjunto dos meses do ano que possuem mais de 32 dias é um conjunto vazio;
- Conjunto dos números negativos maiores do que zero é um conjunto vazio.
Outra maneira de diferenciarmos o conjunto vazio { } do conjunto unitário {0} é através de sua propriedade:
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; porém, o conjunto unitário {0} NÃO é subconjunto de qualquer conjunto.
Em outras palavras: { } está contido em {0}, mas {0} não está contido em { }
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Referências
- ↑ a b c d LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos. Tradução de Fernando Vilain Heusi da Silva. 1ª edição (1967 - reimpressa). Recife: McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1976.
- ↑ IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Volume 1 (Conjuntos, Funções). 8ª ed. São Paulo: Atual, 2004.
Notas
- ↑ LIPSCHUTZ[1], págs. 3 e 4
- ↑ LIPSCHUTZ[1], pág. 13.
- ↑ A expressão significa "o conjunto vazio é igual ao conjunto dos x tais que x é diferente de x".
- ↑ LIPSCHUTZ[1], pág. 5.
- ↑ A expressão significa "existe ao menos um x tal que x pertence ao conjunto vazio e x não pertence ao conjunto A".
- ↑ A expressão significa "o conjunto vazio (ou nulo) está contido no conjunto A (é subconjunto do conjunto A), qualquer que seja este conjunto A".
- ↑ Para entender esta propriedade, é suficiente consultar as definições que constam no artigo união. Consequentemente, ela não será demonstrada, aqui.
- ↑ Para entender esta propriedade, é suficiente consultar as definições que constam no artigo interseção. Consequentemente, ela não será demonstrada, aqui.



