Conjunto vazio

Conjunto vazio ou conjunto nulo, representado pelo símbolo $\varnothing$ ou pelo símbolo { }, é um conjunto que não possui elementos.. Sua existência é mera consequência do axioma da especificação.

Definição alternativa

Alguns livros definem o conjunto nulo da seguinte maneira: $\varnothing = \{x|x \ne x\}$

Propriedades

• O conjunto vazio é considerado subconjunto de qualquer outro conjunto

Demonstração:

Dado um conjunto A, suponha que $\varnothing$ não seja subconjunto de A. Para que tal suposição seja verdadeira, o seguinte deve ser verdadeiro:

$\exists x | x \in \varnothing \and x \not\in A$

Porém, como não existe x algum em $\varnothing$, a suposição é falsa. Consequentemente:

$\varnothing \subset A, \forall A$

• A união do conjunto vazio com qualquer conjunto A é o próprio conjunto A. Matematicamente:

$\varnothing \cup A = A$

• A intersecção do conjunto vazio com qualquer conjunto A é o próprio conjunto vazio. Matematicamente:

$\varnothing \cap A = \varnothing$

Conjunto vazio não é o mesmo que conjunto com o número zero

Não confunda o conjunto vazio com o conjunto unitário cujo único elemento é o número zero. Este segundo conjunto é diferente e escreve-se desta forma: {0}

Um conjunto pode ser composto por qualquer coisa: letras, nomes, números, algarismos, pessoas, objetos, animais, etc. Veja exemplos:

- Conjunto das pessoas que moram na minha casa é um conjunto cujos elementos são pessoas;

- Conjunto dos satélites naturais do planeta Terra é um conjunto unitário, cujo único elemento é um satélite: a Lua;

- Conjunto dos meses do ano que possuem menos de 30 dias é um conjunto unitário, cujo único elemento é um mês: fevereiro;

- Conjunto dos números que não são nem negativos, nem positivos é um conjunto unitário, cujo único elemento é um número: o zero;

- Conjunto dos meses do ano que possuem mais de 32 dias é um conjunto vazio;

- Conjunto dos números negativos maiores do que zero é um conjunto vazio.

Outra maneira de diferenciarmos o conjunto vazio { } do conjunto unitário {0} é através de sua propriedade:

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto; porém, o conjunto unitário {0} NÃO é subconjunto de qualquer conjunto.

Em outras palavras: { } está contido em {0}, mas {0} não está contido em { }

Galeria de imagens

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  Símbolo usado para denotar o conjunto nulo/vazio.

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  O conjunto nulo/vazio também pode ser representado por duas chaves.

Ver também

• Teoria dos conjuntos
• Classe