Constante de Euler-Mascheroni

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A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.


\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)

que pode ser condensada assim :

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}  - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over E(x)}-{1\over x}\right)\,dx

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral.

As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial e^x para determinados valores de x


Valor aproximado[editar | editar código-fonte]

As 100 primeiras decimais dessa constante são

γ ≈ 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

História[editar | editar código-fonte]

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97).

Convergência[editar | editar código-fonte]

Como podemos escrever:

\begin{align}
  \ln n &=  [\ln n - \ln(n-1)] +[\ln (n-1) - \ln(n-2)]+\ldots +[\ln 2 - \ln 1] + \ln(1) \\
        &=\sum_{k=2}^n \,[\ln k - \ln(k-1)]\end{align}\,

Como \ln k - \ln(k-1)=\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}\,

\gamma =  1+\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}\right)

Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:

\frac{1}{k}\leq\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}\leq \frac{1}{k-1},k=2,3,4\ldots\,


\sum_{k=2}^{\infty}\left|\frac{1}{k}-\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}\right| =\sum_{k=2}^{\infty}\left(\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}-\frac{1}{k}\right)\leq \sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)

Essa última expressão corresponde à

\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=-\sum_{k=2}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k-1}\right)

Que é a série telescópica Dessa forma,

\sum_{k=2}^{\infty}\left(\int_{k-1}^k\frac{dx}{x}-\frac{1}{k}\right)\leq \sum_{k=2}^{\infty}\left|\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right|=\left|-1\right|=1
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