Constante de Kaprekar

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O inteiro 6174 é conhecido como Constante de Kaprekar[1] [2] [3] em homenagem ao matemático indiano D. R. Kaprekar. Esse número é interessante graças à seguinte propriedade:

  1. Tome qualquer número de 4 dígitos, usando ao menos 2 dígitos diferentes (zeros complementares iniciais são permitidos).
  2. Arrange os dígitos em ordem ascendente e depois em ordem decrescente, de modo a obter dois números a quatro dígitos, adicionando zeros iniciais se necessário.
  3. Subtraia o menor número do maior.
  4. Repita o passo 2.

O processo acima, conhecido como rotina de Kaprekar, sempre convergirá para o seu ponto fixo, o valor 6174, em no máximo oito iterações.[4] Assim que 6174 for alcançado, o processo continua a resultar no valor 7641 – 1467 = 6174. Por exemplo, escolha 3524:

5432 – 2345 = 3087
8730 – 0378 = 8352
8532 – 2358 = 6174

Os únicos números a quatro dígitos para os quais a rotina de Kaprekar não leva a 6174 são dígitos repetidos tais que 1111, 2222, etc, que levam ao resultado 0 após uma simples iteração. Todos os outros números a quatro dígitos eventualmente levam a 6174 se zeros complementares iniciais forem usados para manter os números a quatro dígitos:

2111 – 1112 = 0999
9990 – 0999 = 8991 (em vez de 999 – 999 = 0)
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532
8532 – 2358 = 6174

9831 chega a 6174 após 7 iteraçõest:

9831 – 1389 = 8442
8442 – 2448 = 5994
9954 – 4599 = 5355
5553 – 3555 = 1998
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532 (em vez de 882 – 288 = 594)
8532 – 2358 = 6174

8774, 8477, 8747, 7748, 7487, 7847, 7784, 4877, 4787 e 4778 alcançam 6174 após 4 iterações:

8774 – 4778 = 3996
9963 – 3699 = 6264
6642 – 2466 = 4176
7641 – 1467 = 6174

Note que em cada iteração da rotina de Kaprekar, os dois números participando da subtração têm a mesma soma de seus dígitos e, assim, o mesmo resto módulo 9. Assim, o resultado de cada iteração da rotina de Kaprekar é um múltiplo de 9.

Sequência de transformações de Kaprekar terminando em 6174

O inteiro 495 é a constante equivalente para números de três dígitos. Para números com cinco dígitos ou mais, não há uma só constante equivalente; para cada número de dígitos a rotina pode se terminar em um ou diversos valores fixos ou pode entrar um de vários loops.[4]

Sequência de de transformações de Kaprekar a três dígitos terminando-se em 495

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Mysterious number 6174
  2. Kaprekar DR. (1955). "An Interesting Property of the Number 6174". Scripta Mathematica 15: 244–245.
  3. Kaprekar DR. (1980). "On Kaprekar Numbers". Journal of Recreational Mathematics 13 (2): 81–82.
  4. a b Eric W. Weisstein, Kaprekar Routine em MathWorld

Ligações externas[editar | editar código-fonte]