Constante mágica

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A constante mágica ou soma mágica de um quadrado mágico é a soma dos números de qualquer linha, coluna ou diagonal de uma quadrado mágico. Por exemplo, o quadrado mágico mostrado abaixo tem uma constante mágica de 15.

MagicSquare-ExplicitSums.png

O termo constante mágica ou soma mágica é similarmente aplicado a outras figuras "mágicas" como a estrela mágica e o cubo mágico.

Quadrados mágicos normais[editar | editar código-fonte]

Se um quadrado mágico de ordem n for normal normal (i.e., ele contém os números de 1 a n²), então a constante mágica depende apenas de n e seu valor é dado por

M_2(n) = \frac{n(n^2+1)}{2}.

Essa fórmula é a consequência da fórmula para a soma dos primeiros n inteiros

1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}

aplicada para o caso k = n², fornecendo n²(n²+1)/2, que é então dividido por n porque existem n linhas, sendo que todas somam o mesmo valor.

As constantes mágicas de quadrados mágicos normais de ordem n = 3, 4, 5, … são:

15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870...

formando a sequência A006003 da OEIS

Os números em qualquer linha, coluna ou diagonal de um quadrado mágico normal formam uma série mágica.

Cubos mágicos[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma, se um cubo mágico consiste nos números 1, 2, ..., n³, então ele também tem uma constante mágica (sequência A027441 na OEIS)

M_3(n) = \frac{n(n^3+1)}{2}.

Estrelas mágicas[editar | editar código-fonte]

A constante mágica de uma estrela mágica normal de n pontas é M = 4n + 2.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]