Convergência fraca

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Em matemática, a convergência fraca é um importante conceito da análise funcional aplicado no estudo dos espaços vectoriais topológicos tais como os espaços de Hilbert ou espaços de Banach.

No espaços \mathbb{R}^n\, ou \mathbb{C}^n\, convergência fraca e convergência em norma são conceitos equivalentes.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um seqüência x_n\, em um espaço vetorial topológico X\, converge fracamente para um ponto x\, se:

l(x_n)\to l(x)\, para todo funcional linear limitado l\,

Escreve-se:

x_n\rightharpoonup x\,

Limitação[editar | editar código-fonte]

Uma seqüência fracamente convergente em um espaço localmente convexo limitada.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere o espaço de Hilbert das funções quadrado integráveis no intervalo [0,2\pi]\, e a seqüência \{x_n\}\subseteq L^2[0,2\pi]\, dada por:

x_n=\sin(nx),n=1,2,\ldots\,

Do lema de Riemann-Lebesgue, temos que:

\lang x_n,u\rang:=\int_0^{2\pi}\sin(nx)udx\to 0, \forall u\in L^2[0,2\pi]\,

portanto:

\sin(nx)\rightharpoonup 0,\, em L^2[0,2\pi]\,

Contraste isto com o fato que:

\|x_n\|:=\sqrt{ \int_0^{2\pi}\sin^2(nx)dx } =\sqrt \pi\,


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