Convergência pontual

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Em matemática, em especial na análise real e na análise funcional, a convergência pontual é um dos muitos conceitos que existem para convergência de uma seqüência de funções.

Algumas vezes a convergência pontual é chamada de convergência ponto a ponto.

Um conceito mais forte que convergência pontual é convergência uniforme. Um conceito mais fraco é convergência quase-sempre.

Definição para seqüências de funções reais[editar | editar código-fonte]

Seja D\, um conjunto qualquer e f_n:D\to\mathbb{R}\, uma seqüência de funções que compartilham do mesmo domínio D\,.

Diz-se que f_n(x)\, converge pontualmente para uma função f:D\to\mathbb{R}\, se:

  • \lim_{n\to \infty}f_n(x)= f(x), para cada x\in D\,

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • f_n(x)=\frac{x}{n}\, converge pontualmente para f(x)=0\,
  • f_n(x)= n\sin\left(\frac{x}{n}\right) converge pontualmente para f(x)=x\,
  • f_n(x) =\frac{|x|^n}{1+|x|^n} que converge pontualmente para f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, &|x|<1\\
\frac{1}{2},&|x|=1\\
1,&|x|>1
\end{array}\right.

Definição geral[editar | editar código-fonte]

Seja f_n: S \to X\, uma seqüência de funções com contra-domínio em um espaço topológico X com uma topologia \tau\,. Então a seqüência converge pontualmente para uma função f: S \to X\, quando, para todo x, a seqüência f_n(x)\, converge para f(x). Isso equivale a escrever:

\forall x \in S \ \forall A \in \tau, \ (f(x) \in A \rightarrow \exists N \in \mathbb{N}, \ (n > N \rightarrow f_n(x) \in A))\,.

Esta definição é equivalente a dizer que, na topologia produto de X^S\,, a seqüência f_n\, converge para f.

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