Conversão de base numérica

Conversão de base numérica é o nome dado à passagem de um valor de uma base para outra mantendo o valor quantitativo, mas alterando a simbologia para se adequar a nova base.

Introdução

Atualmente é muito comum o uso de bases numéricas derivadas de 2 ao se utilizar computadores em baixo nível (quando se programa um, por exemplo).

O humano está familiarizado com a base 10 (decimal), no dia-a-dia, já os computadores atuais trabalham exclusivamente com a base 2 (binário), assim é preciso fazer conversões entre estas bases quando se pretende inserir algum valor para ser processado pelo computador.

Obviamente que ninguém vai ficar convertendo números para o binário para então digitá-lo na calculadora e depois converter o resultado para decimal para usá-lo. Esse processo de conversão está, no caso da calculadora, pré-programado para ser feito por ela, o ponto a ser entendido aqui é que internamente ela faz tudo em binário, em outras palavras: ela converte o que foi digitado para binário, faz o cálculo, converte o resultado para decimal e apresenta o resultado.

No entanto quando se está escrevendo um programa é normal a introdução de valores no meio do código, e em muitas situações a digitação de códigos binários é muito complicada/longa para o programador, então existem outros códigos que facilitam a digitação, na prática é muito utilizada a base 8 (octal), e a base 16 (hexadecimal), ambas derivadas da base 2 (note que estas bases facilitam a digitação somente, de qualquer forma ao ser compilado toda e qualquer base usada para escrever o programa é convertida para base 2 para que o valor seja usado pelo processador).

Exemplos

Valores numéricos representados em algumas bases

10 (Decimal)	2 (Binário)	8 (Octal)	16 (Hexadecimal)
0	0	0	0
3	11	3	3
10	1010	12	A
15	1111	17	F
301	100101101	455	12D
1379	10101100011	2543	563
42685	1010011010111101	123275	A6BD

Repare como na base maior (hexadecimal), o número de símbolos usados para representar o mesmo valor é bem menor que nas bases menores, é isso que facilita a digitação e memorização dos valores.

Repare também que no caso da simbologia da base haxadecimal são usadas algumas letras, isso ocorre porque temos símbolos para representar somente os algarismos de 0 a 9, como na base 16 é necessária a representação de algarismos de 10 a 15 então as letras de A até F são utilizadas para isso resultando na sequência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Conversões

A conversão entre bases pode ser realizada por meio de divisões sucessivas, que funciona para qualquer combinação de bases, ou então, para os casos em que a base de origem e de destino pertencem a mesma base logarítmica, a conversão pode ser feita simplesmente por reagrupamento dos algarismos.

Divisões sucessivas

Neste método uma das bases tem que ser a decimal. Assim se nenhuma delas for decimal é necessário primeiro converter a base de origem para decimal e então converter para base de destino.

Tomemos o exemplo da conversão do número base 10 (decimal), 745 para a base 4. Uma série de divisões inteiras é realizada até que o valor zere, o divisor usado é o valor da base de destino e os restos das divisões inteiras é a sequência de algarismos da base de destino. Como a base de origem é decimal podemos usar o método diretamente:

• $745/4 = 186\rightarrow1$
• $186/4 = 46\rightarrow2$
• $46/4 = 11\rightarrow2$
• $11/4 = 2\rightarrow3$
• $2/4 = 0\rightarrow2$

Portanto $745_{10} = 23221_4$

Outro exemplo $4C_{18}$ para a base 7:

Como o valor de origem está na base 18 primeiro precisamos convertê-lo para a base 10:

$4C_{18}= 4*18^1+12*18^0 = 72+12 = 84_{10}$

Agora sim aplicamos as divisões:

• $84/7 = 12\rightarrow0$
• $12/7 = 1\rightarrow5$
• $1/7 = 0\rightarrow1$

Assim: $4C_{18} = 84_{10} = 150_7$

Mais um exemplo: converter $652_8$ para a base 3:

$652_8 = 6*8^2+5*8^1+2*8^0 = 384+40+2 = 426_{10}$

• $426/3 = 142\rightarrow0$
• $142/3 = 47\rightarrow1$
• $47/3 = 15\rightarrow2$
• $15/3 = 5\rightarrow0$
• $5/3 = 1\rightarrow2$
• $1/3 = 0\rightarrow1$

Assim: $652_8 = 426_{10} = 120210_3$

Reagrupamento

Quando as bases envolvidas são da mesma base logarítmica então a conversão pode ser facilmente feita por simples reagrupamentos dos algarismos e uso de pequenas tabelas de conversão. Por exemplo, entre as bases 16 e 8 ou entre 2 e 16 ou ainda entre as bases 27 e 9.

Na prática é muito usada a conversão entre as bases 2, 8 e 16 pelos motivos citados anteriormente. Segue uma tabela básica para estas conversões:

Tabela de conversão de bases de origem binária

Decimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Binário	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
Octal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17
Hexadecimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Convertendo $111010110_2$ para a base 16:

Pela tabela vemos que para cada algarismo em hexadecimal são necessários 4 algarismos para realizar sua representação em binário. Então o primeiro passo é separar o valor em base 2 em blocos de 4 algarismos:

$111010110_2 = 1.1101.0110$

Depois, consultando a tabela convertemos o valor de cada bloco para seu equivalente hexadecimal, assim teremos:

$111010110_2 = 1.D.6_{16} = 1D6_{16}$

Convertendo $111010110_2$ para base 8:

Pela tabela vemos que para cada algarismo em octal são necessários 3 algarismos para realizar sua representação em binário. Então devemos separar o valor em base 2 em blocos de 3 algarismos:

$111010110_2 = 111.010.110$

Depois, consultando convertemos o valor de cada bloco para seu equivalente octal, assim teremos:

$111010110_2 = 7.2.6_{8} = 726_{8}$

Finalmente uma conversão do valor $3A8_{16}$ para octal:

Primeiro convertemos para os blocos binários equivalentes com 4 dígitos:

$3A8_{16} = 3.A.8_{16} = 0011.1010.1000_2 = 1110101000_2$

Agora reagrupamos em blocos de 3 dígitos:

$1110101000_2 = 1.110.101.000_2 = 1.6.5.0_8$

Assim: $3A8_{16} = 1650_8$

Ligações externas

• Sistemas de numeração (PUC-Rio)
• (em inglês) Conversão de base numérica