Convolução

Em matemática, particularmente na área de análise funcional, convolução é um operador que, a partir de duas funções, produz uma terceira. O conceito de convolução está ligado ao de média móvel, e é crucial no estudo de sistemas lineares invariantes no tempo.

Definição

A notação para a convolução de f e g é f * g. Ela é definida como a integral do produto de uma das funções com uma cópia invertida, com relação a um determinado plano, da outra. A função resultante depende do valor deste deslocamento.

$(f * g )(t) = \int_{-\infty}^\infty f(\tau) g(t - \tau)\, d\tau$,

Para se adquirir uma boa visão intuitiva da convolução, é preciso entender que diversas cópias transladadas e tomadas de trás-pra-frente de uma das funções são ponderadas pelo valor da outra função, e somadas, produzem o resultado.

Na fórmula acima, f seria a função de ponderação, enquanto que cópias revertidas de g estariam sendo deslocadas e somadas ao resultado. Entretanto, a convolução não depende da ordem das funções, ou seja, a função de ponderação pode ser tanto f quanto g, produzindo o mesmo resultado.

Existe ainda uma definição de convolução para funções de domínio discreto, dada por

$(f * g)[m] = \sum_n {f[n] g[m - n]} \,$

Propriedades

Todos os vários operadores de convolução obedecem as seguintes propriedades:

Comutatividade

$f * g = g * f \,$

Associatividade

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

Distributividade

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

Associatividade com multiplicação escalar

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

para qualquer número a real ou complexo.

Regra da diferenciação

$\mathcal{D}(f * g) = \mathcal{D}f * g + f(0). g = f *\mathcal{D}g + f . g(0) \,$

onde $\mathcal{D}f$ denota a derivada de f. No caso discreto, uma aproximação é o uso do operador diferencial

$\mathcal{D}f[n] = f[n+1] - f[n]$.

Esta regra deve-se ao fato de que as operações de derivação e integração podem ser realizadas através da convolução por funções específicas, assim como a translação.

Teorema da Convolução

O teorema da convolução diz que

$\mathcal{F}(f * g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

onde F(f) denota a transformada de Fourier de f. Versões deste teorema também valem para a transformada de Laplace, a transformada bi-lateral de Laplace, a transformada Z e a transformada de Mellin.

Aplicações

• A operação de convolução pode ser utilizada para encontrar a resposta de um sistema linear de equações diferenciais. A saída de um sistema linear também pode ser dada pela convolução da entrada pela resposta a impulso do sistema.
• Em estatística, a função de densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias X e Y é dada pela convolução das respectivas funções de densidade de probabilidade.
• Segundo o teorema da convolução, a convolução de duas funções resulta na multiplicação de suas transformadas de Fourier no domínio freqüência.
• Ao multiplicarem-se dois polinômios, os coeficientes do produto serão dados pela convolução dos coeficientes originais (estendendo-se as seqüências de coeficientes com zeros, conforme necessário).
• Generalizando-se os casos acima, a convolução pode ser definida para quaisquer duas funções integráveis definidas em um grupo topológico localmente compacto. Uma generalização diferente é a convolução de distribuições.