Coordenadas elípticas

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Sistema de coordenadas elípticas.

As coordenadas elípticas são um sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonais, onde as linhas coordenadas são elipses e hipérboles com os mesmos focos. Os focos F_{1} e F_{2} estão geralmente fixos nas posições x = -a e x= +a, respectivamente, sobre o eixo OX de um sistema cartesiano cujos eixos são eixos de simetría das linhas coordenadas hiperbólicas e elípticas.

As coordenadas elípticas cilíndricas são um sistema tridimensional obtido rotacionando o sistema anterior em torno do eixo dos focos e adicionando uma coordenada angular polar adicional.

Definição[editar | editar código-fonte]

A definição mais comum das coordenadas elípticas bidimensionais (\mu, \nu) é:


\begin{cases} 
x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \\
y = b \ \sinh \mu \ \sin \nu \end{cases}

Onde:

\mu\, é um número real não-negativo e
\nu \in [0, 2\pi)\,.

No plano complexo, existe uma relação equivalente dada por:



x + iy = a \ \cosh(\mu + i\nu)

Estas definições correspondem à elipses e hipérboles. A identidade trigonométrica



\frac{x^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1

mostra que as curvas com \mu\, constante são elipses, enquanto que a identidade trigonométrica hiperbólica



\frac{x^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1

mostra que as curvas com \nu\, constante são hipérboles.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

As aplicacões clássicas das coordenadas elípticas são a resolução de equações diferenciais parciais como a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as que as coordenadas elípticas admitam separação de variáveis. Um exemplo típico é a carga elétrica que rodeia um condutor plano de largura 2a. Ou o campo de duas cargas elétricas pontuais de mesmo sinal a uma distância 2a.