Coordenadas polares

As coordenadas polares, r e θ, de um ponto sobre o plano euclidiano $\mathbb{R}^2$ cuja origem é denotada por O são definidas como:

• r: a distância entre esse ponto e a origem O,
• θ: o ângulo formado entre o segmento de recta que une esse ponto à origem e o eixo x, também chamado ângulo azimutal.

Relação com as coordenadas cartesianas

Da definição anterior, auxiliada pela comparação com o gráfico, podemos concluir as relações entre o par (x, y) de coordenadas cartesianas e o par (r, θ) de suas coordenadas polares. Assim obtemos:

$x = r \cdot \cos \theta$

$y = r \cdot \sin \theta$

$r = \sqrt{x^2 + y^2}$

$\theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )$

Relação com as coordenadas cilíndricas

As coordenadas polares obtêm-se a partir das coordenadas cilíndricas ($R$, θ, z) fixando um qualquer valor de z. Geometricamente, isto significa que se faz um corte perpendicular ao eixo dos z.

Sob essa transformação, o raio em coordenadas polares ($r$) é idêntico ao raio em coordenadas cilíndricas ($R$) e o ângulo θ é também o mesmo em ambos os sistemas de coordenadas.

Relação com as coordenadas esféricas

As coordenadas polares podem obter-se a partir das coordenadas esféricas (R, θ, φ) fixando um valor de φ diferente de 0 ou π. Geometricamente, isto significa fazer um corte perpendicular ao eixo dos z, para $z = R \sin \phi$.

Sob essa transformação, o raio em coordenadas polares ($r$) relaciona-se com o raio em coordenadas esféricas ($R$) pela expressão:

$r = R \cos \phi$

e ângulo θ é o mesmo em ambos os sistemas de coordenadas.

Ver também

As coordenadas polares, situam-se num eixo, em que r igual a unidade.

• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas cilíndricas
• Coordenadas esféricas
• Coordenadas geográficas