Coordenadas polares

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Pontos no sistema de coordenadas polar. O pólo é indicado pela letra O e o eixo polar pela letra L. A verde, um ponto com coordenada radial 3 e coordenada angular de 60 graus, ou (3,60º). A azul, o ponto de coordenadas (4,210º)

Em matemática, um sistema de coordenas polares é um sistema de coordenadas bidimensional, no qual cada ponto de um plano é determinado pela sua distância em relação a um ponto fixo e do ângulo em relação a uma direção fixa.

Este ponto fixo, semelhante à origem de um sistema de coordenadas cartesiano, é denominado "pólo". O raio a partir do pólo numa determinada direção denomina-se "eixo polar". A distância entre o pólo e o ponto denomina-se "coordenada radial" ou "raio", e o ângulo "coordenada angular", "ângulo polar" ou "azimute".[1]

Convenções[editar | editar código-fonte]

As coordenadas polares, r e θ, de um ponto sobre o plano euclidiano \mathbb{R}^2 cuja origem é denotada por O são definidas como:

  • r: a distância entre esse ponto e a origem O,
  • θ: o ângulo formado entre o segmento de recta que une esse ponto à origem e o eixo x, também chamado ângulo azimutal.

Relação com as coordenadas cartesianas[editar | editar código-fonte]

Da definição anterior, auxiliada pela comparação com o gráfico, podemos concluir as relações entre o par (x, y) de coordenadas cartesianas e o par (r, θ) de suas coordenadas polares. Assim obtemos:

 x = r \cdot \cos \theta
 y = r \cdot \sin \theta
 r = \sqrt{x^2 + y^2}
 \theta = \arctan \left ( \frac{y}{x} \right )

Relação com as coordenadas cilíndricas[editar | editar código-fonte]

As coordenadas polares obtêm-se a partir das coordenadas cilíndricas ( R , θ, z) fixando um qualquer valor de z. Geometricamente, isto significa que se faz um corte perpendicular ao eixo dos z.

Sob essa transformação, o raio em coordenadas polares ( r ) é idêntico ao raio em coordenadas cilíndricas ( R ) e o ângulo θ é também o mesmo em ambos os sistemas de coordenadas.

Relação com as coordenadas esféricas[editar | editar código-fonte]

As coordenadas polares podem obter-se a partir das coordenadas esféricas (R, θ, φ) fixando um valor de φ diferente de 0 ou π. Geometricamente, isto significa fazer um corte perpendicular ao eixo dos z, para  z = R \cos \phi .

Sob essa transformação, o raio em coordenadas polares ( r ) relaciona-se com o raio em coordenadas esféricas ( R ) pela expressão:

 r = R \sen \phi

e ângulo θ é o mesmo em ambos os sistemas de coordenadas.

Ver também[editar | editar código-fonte]

As coordenadas polares, situam-se num eixo, em que r igual a unidade.

Referências

  1. Brown, Richard G.. In: Andrew M. Gleason. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell, 1997. ISBN 0-395-77114-5.


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