Coordenadas toroidais

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Ilustração das coordenadas toroidais, que são obtidas pela rotação do sistema de coordenadas bipolar bidimensional sobre um eixo separando seus focos. O foco está localizado a uma distância vertical 1 do eixo z. A esfera vermelha é a isosuperfície σ=30°, o toro azul é a isosuperfície τ=0,5, e o semi-plano amarelo é a isosuperfície φ=60°. O semi-plano verde marca o plano x-z plane, a partir do qual φ é medido. O ponto preto está na intersecção dessas três isosuperfícies, nas coordenas cartesianas (0.996, -1.725, 1.911).

Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos F_{1} e F_{2} em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio a no plano xy plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo z é o eixo de rotação.

Definição[editar | editar código-fonte]

Interpretação geométrica das coordenadas σ e τ de um ponto P.

A definição mais comum das coordenadas toroidais (\sigma, \tau, \phi) é


x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi

y = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi

z = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}

onde a coordenada \sigma de um ponto P é igual ao ângulo F_{1} P F_{2} e a coordenada \tau é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias d_{1} e d_{2}


\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}.

Transformação inversa[editar | editar código-fonte]

As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula


\tan \phi = \frac{y}{x}

O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por


\rho^{2} = x^{2} + y^{2}

e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por


d_{1}^{2} = (\rho + a)^{2} + z^{2}

d_{2}^{2} = (\rho - a)^{2} + z^{2}

A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.


\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}

Fatores de escalas[editar | editar código-fonte]

Os fatores de escala para as coordenadas toroidais \sigma e \tau são


h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}

enquanto o fator de escala azimutal é


h_{\phi} = \frac{a \sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}

Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por


dV= \frac{a^{3}\sinh \tau}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}} d\sigma d\tau d\phi

e o laplaciano é toma a forma


\nabla^{2} \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau} 
\left[ 
\sinh \tau 
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{1}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) + 
\frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) + 
\frac{1}{\sinh \tau \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\right]

Referências[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 1953. p. 666.
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 1961. p. 182. LCCN 59-14456
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 1956. 190–192 p. LCCN 55-10911
  • Moon PH, Spencer DE. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions. 2nd ed., 3rd revised printing ed. New York: Springer Verlag, 1988. 112–115 (Section IV, E4Ry) p. ISBN 0-387-02732-7

Ligações externas[editar | editar código-fonte]