Corpo algebricamente fechado

Em Matemática, um corpo $F$ diz-se algebricamente fechado se qualquer polinómio de uma variável e grau maior ou igual a $1$, com coeficientes em $F$, tiver uma raiz em $F$.

Por exemplo, o corpo dos números reais não é algebricamente fechado, pois a equação polinomial

$3x^2+1=0$

não tem soluções reais, apesar de os seus coeficientes ($3$ e $1$) serem reais. O mesmo argumento mostra que o corpo dos números racionais não é algebricamente fechado. Nenhum corpo finito $F$ é algebricamente fechado, pois se $a_1$, $a_2$, …, $a_n$ forem os elementos de $F$, o polinómio

$(x-a_1)(x-a_2)$ ··· $(x-a_n)+1$

não tem nenhuma raiz em $F$. Em contrapartida, o corpo dos números complexos é algebricamente fechado; é isto que afirma o teorema fundamental da álgebra. Outro exemplo de corpo algebricamente fechado é o corpo dos números algébricos.

Dado um corpo $F$, a afirmação «$F$ é algebricamente fechado» é equivalente a cada uma das seguintes:

• Qualquer polinómio $p(x)$ de grau $n$ ≥ $1$, com coeficientes em $F$,é produto de polinómios de primeiro grau. Posto de outro modo, há elementos $k$, $x_1$, $x_2$, …, $x_n$ de $F$ tais que

$p(x)=k(x-x_1)(x-x_2)$ ··· $(x-x_n)$.

• O corpo $F$ não tem nenhuma extensão algébrica própria.
• Para cada número natural $n$, qualquer aplicação linear de $F^n$ em si próprio tem algum vector próprio.
• Qualquer função racional de uma variável $x$, com coeficientes em $F$ pode ser escrita como soma de uma função polinomial com funções racionais da forma $a/(x+b)^n$, sendo $n$ um número natural e $a$ e $b$ pertencem a $F$.

Se $F$ for um corpo algebricamente fechado, se $a$ for um elemento de $F$ e se $n$ for um número natural, então $a$ tem alguma raiz de ordem $n$ em $F$, pois isto é o mesmo que afirmar que a equação $x^n-a=0$ tem alguma raiz em $F$. No entanto, há corpos nos quais qualquer elemento tem alguma raiz de ordem $n$ (para cada número natural $n$) mas que não são algebricamente fechados. De facto, nem mesmo supor que qualquer polinómio do tipo $x^n-a$ se pode escrever como produto de polinómios de primeiro grau é suficiente para garantir que o corpo é algebricamente fechado.

Como conseqüência do axioma da escolha, qualquer corpo $F$ tem um fecho algébrico, que é o menor corpo algebricamente fechado do qual $F$ é um subcorpo.

Bibliografia

• S. Lang, Algebra, Springer-Verlag, 2004, ISBN 0-387-95385-X
• B. L. van der Waerden, Algebra I, Springer-Verlag, 1991, ISBN 0-387-97424-5