Corpo de frações

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Seja (A,+,*) um anel. Sob que condições podemos construir uma extensão (B,+,*) que seja um corpo? Se a resposta for afirmativa, B será chamado de um corpo de frações de A.[1]

De modo geral, (B, +, *)\, é um corpo de frações do anel (A, +, *)\, quando B for um corpo, e contiver um sub-anel A' isomórfico a A.[1] Quando B existe (mais abaixo estão enumeradas as condições para sua existência) podemos dizer que B é o corpo de frações de A, porque qualquer outro corpo de frações de A será isomórfico a B.

Construção[editar | editar código-fonte]

A construção do corpo de frações a partir de um anel é muito semelhante à construção dos números racionais a partir dos números inteiros.[1]

Como (B,+,*) é um corpo, temos que a multiplicação é comutativa. Então, em (A,+,*), a multiplicação também deve ser comutativa.

Como B não pode ter divisores de zero, segue que A também não pode ter divisores de zero.

Para que A seja um subconjunto de B, deve ser possível representar cada elemento de B como uma divisão de elementos de A. Uma condição suficiente para isso é que a multiplicação em A tenha elemento neutro 1.

As três condições acima (anel comutativo, sem divisores de zero, e com elemento neutro multiplicativo) caracterizam um domínio de integridade.

Como os elementos de B tem a forma \frac {a_1} {a_2}\, para a_1 \in A \land a_2 \in A \land a_2 \neq 0\,, vamos iniciar a construção de B pelo conjunto de pares ordenados A \times A^{\star} = A \times (A - \{ 0 \})\,.[1]

Define-se, em A \times A^{\star}:

(a, b) + (c, d) = (a \ d + b \ c, b \ d)
(a, b) * (c, d) = (a \ c, b \ d)

Essas operações estão bem definidas, porque A não tem divisores de zero, logo b \ d \neq 0\,

Lembrando que \frac {a} {b} = \frac {c} {d} \iff a \ d = b \ c\,, temos que considerar em A \times A^{\star} a relação \sim\, definida por (a, b) \sim (c, d) \iff a \ d = b \ c\,.[1]

Prova-se facilmente que \sim\, é uma relação de equivalência em A \times A^{\star}\,.[1] Além disso, é possível provar que as operações de soma e produto definidas em A \times A^{\star}\, estão bem definidas no conjunto quociente \frac {A \times A^{\star}} {\sim}\,.[1]

A projeção \pi: A \mapsto \frac {A \times A^{\star}} {\sim}\, definida por \pi(x) = [ (x, 1) ]\, é um isomorfismo entre A e \pi(A)\,.[1]

Finalmente, basta provar as propriedades de corpo para finalizar a construção.

Unicidade[editar | editar código-fonte]

Sejam B e B' dois corpos de frações do anel A, e sejam iA e i'A os isomorfismos de A em, respectivamente, subanéis de B e B' . Considerando então a relação entre B e B' definida por:

R = \{ \ (b, b') \in B \times B' \ | \ \exists p, q \in A, \ b = i_A(p)/i_A(q), \ b' = i'_A(p)/i'_A(q) \ \}\,

Basta mostrar que R é uma função bijetiva e um isomorfismo de corpos, e está provada a unicidade (a menos de isomorfismos) do corpo de frações.

Referências

  1. a b c d e f g h D. P. Fahr, Field of fractions [em linha]
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