Corpo finito

Em matemática e, em especial, na teoria dos corpos, um corpo finito é um corpo em que o conjunto dos elementos é finito.

Corpos finitos também são chamados corpos de Galois em honra ao matemático francês Évariste Galois.

Exemplos

• Todo anel $\mathbb{Z}_p\,$, para p primo, é um corpo, logo é um corpo finito.
• Existe um (único, significando que todos são isomorfos) corpo finito com 4 elementos. Seja K este corpo. É fácil ver que o grupo aditivo (K, +) não pode ser isomorfo a $(\mathbb{Z}_4, +)\,$ (porque, qualquer que seja a operação de multiplicação $\otimes\,$, temos que $(1 + 1) \otimes (1 + 1) = 1 \otimes (1 + 1) + 1 \otimes (1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 0\,$, e um corpo não pode ter divisores de zero). Então temos que (K, +) deve ser isomorfo ao grupo de Klein de ordem 4. Sem perda de generalidade, podemos definir K = { $0, 1, \alpha, \alpha + 1$ }, e, como a equação $x^2 = x$ só pode ter 2 raízes (0 e 1), e a equação $x^2 = 1\,$ tem 1 como raiz dupla, temos que $\alpha^2 = \alpha + 1$. Com isso, completa-se a tabela multiplicativa do corpo de ordem 4. Note-se que $\alpha\,$ e $\alpha + 1\,$ são as raízes do polinômio (irredutível em $\mathbb{Z}_2\,$) $x^2 + x + 1\,$.

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