Corpo ordenado

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Em matemática, um corpo ordenado é um corpo no qual existe uma relação de ordem total, e em que as operações binárias do corpo são compatíveis com essa relação de ordem.[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

(K, +, \times, \le)\, é um corpo ordenado se:[1]

Destes axiomas pode-se deduzir que, se a \le b \land c \le d\,, então a + c \le b + c e c + b \le d + b\,, portanto (pelos axiomas da adição e pela transitividade da relação de ordem) a + c \le b + d\,.[1]

Então, temos que o subconjunto K^{+} = \{ x \in K | 0 \le x \}\, é fechado para as operações de soma e produto.[1]

Definição alternativa[editar | editar código-fonte]

Uma outra forma de definir um corpo ordenado parte do subconjunto dos números positivos. Temos então:[1]

  • Seja K um corpo, e K^{+}\, um subconjunto de K (chamado de conjunto dos números positivos) satisfazendo as seguintes propriedades:
    • Para cada elemento x de K, exatamente uma das três condições seguintes é valida: x = 0 \lor x \in K^{+} \lor (-x) \in K^{+})\,
    • K^{+}\, é fechado para as operações de soma e produto, ou seja, \forall x, y \in K^{+}, (x + y \in K^{+} \land xy \in K^{+})\,
  • Então a relação x < y\, \iff y - x \in K^{+}\, faz com que K se torne um corpo ordenado.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • O quadrado de qualquer elemento não nulo é positivo. A prova é simples: seja x = a2. Então temos que a = 0, a é positivo, ou -a é positivo. a não pode ser zero, porque não é zero. Se a for positivo, então a . a = x é positivo. Se a é negativo, então -a é positivo, e x = (-a) . (-a) é positivo.[1]
  • Um corolário é que 1 é positivo.[1]
  • Outro corolário é que o corpo tem característica zero. Por indução, prova-se que n . 1 (definido intuitivamente como 1 + 1 + ... + 1 (n vezes)) é positivo, mas p . 1 = 0 em corpos de característica p (p primo).[1]
  • Todo subcorpo também é um corpo ordenado, com a mesma relação de ordem.[1]
  • A soma de um número qualquer de quadrados em um corpo ordenado é diferente de -1. Esta propriedade é óbvia, mas o interessante é que uma forma de recíproca é verdadeira: se um corpo tem a propriedade de que nenhuma soma de quadrados é igual a -1 (ou seja, é um corpo formalmente real), então este corpo admite uma relação de ordem (não necessariamente única) que o torna um corpo ordenado. A demonstração desta propriedade é feita pelo Lema de Zorn.[2] Este teorema foi demonstrado por Artin e Schreier.[1]
  • Obviamente, se C for uma extensão de um corpo ordenado K e que contém um elemento i tal que i2 = -1, então C não é um corpo ordenado. Ou seja, nenhum corpo algebricamente fechado é ordenado. Porém se C é um corpo algebricamente fechado que é uma extensão própria finita de um corpo K, então para i \in C\, temos que C = K(i) e K pode ser dotado de uma ordem para torná-lo um corpo ordenado. Este teorema foi demostrado por Artin.[1]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Notas e referências

Notas

  1. O texto de Shamseddine apresenta esta série como um somatório, e usa d em vez de ε; aqui foi usado ε pois este símbolo é, intuitivamente, associado a um infinitesimal.
  2. A menos de isomorfismo.

Referências

  1. a b c d e f g h i j k Silvio Levy, 20. Ordered fields and Real fields [em linha]
  2. Keith Conrad, Zorn's Lemma and some applications II [1]
  3. H. B. Enderton, Field of Rational Functions [em linha]
  4. Khodr Shamseddine, Advances in p-adic and Non-archimedian Analysis (2010), p.219 [google books visualização parcial]
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