Corpo ordenado

Em matemática, um corpo ordenado é um corpo no qual existe uma relação de ordem total, e em que as operações binárias do corpo são compatíveis com essa relação de ordem.

Definição

$(K, +, \times, \le)\,$ é um corpo ordenado se:

• $(K, +, \times)\,$ é um corpo
• $\le\,$ é uma relação de ordem total em K
• $\forall a, b, c, \ (a \le b \rightarrow a + c \le b + c)\,$
• $\forall a, b \ (0 \le a \land 0 \le b \rightarrow 0 \le a \ b)\,$

Destes axiomas pode-se deduzir que, se $a \le b \land c \le d\,$, então $a + c \le b + c$ e $c + b \le d + b\,$, portanto (pelos axiomas da adição e pela transitividade da relação de ordem) $a + c \le b + d\,$.

Então, temos que o subconjunto $K^{+} = \{ x \in K | 0 \le x \}\,$ é fechado para as operações de soma e produto.

Definição alternativa

Uma outra forma de definir um corpo ordenado parte do subconjunto dos números positivos. Temos então:

• Seja K um corpo, e $K^{+}\,$ um subconjunto de K (chamado de conjunto dos números positivos) satisfazendo as seguintes propriedades:
  • Para cada elemento x de K, exatamente uma das três condições seguintes é valida: $x = 0 \lor x \in K^{+} \lor (-x) \in K^{+})\,$
  • $K^{+}\,$ é fechado para as operações de soma e produto, ou seja, $\forall x, y \in K^{+}, (x + y \in K^{+} \land xy \in K^{+})\,$
• Então a relação $x < y\, \iff y - x \in K^{+}\,$ faz com que K se torne um corpo ordenado.

Propriedades

• O quadrado de qualquer elemento não nulo é positivo. A prova é simples: seja x = a². Então temos que a = 0, a é positivo, ou -a é positivo. a não pode ser zero, porque a² não é zero. Se a for positivo, então a . a = x é positivo. Se a é negativo, então -a é positivo, e x = (-a) . (-a) é positivo.
• Um corolário é que 1 é positivo.
• Outro corolário é que o corpo tem característica zero. Por indução, prova-se que n . 1 (definido intuitivamente como 1 + 1 + ... + 1 (n vezes)) é positivo, mas p . 1 = 0 em corpos de característica p (p primo).
• Todo subcorpo também é um corpo ordenado, com a mesma relação de ordem.
• A soma de um número qualquer de quadrados em um corpo ordenado é diferente de -1. Esta propriedade é óbvia, mas o interessante é que uma forma de recíproca é verdadeira: se um corpo tem a propriedade de que nenhuma soma de quadrados é igual a -1 (ou seja, é um corpo formalmente real), então este corpo admite uma relação de ordem (não necessariamente única) que o torna um corpo ordenado. A demonstração desta propriedade é feita pelo Lema de Zorn.