Corpo perfeito

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Em álgebra abstrata, um corpo perfeito é um corpo em que todo polinômio é separável.[1]

Motivação[editar | editar código-fonte]

Quando são estudados polinômios com coeficientes racionais, um resultado elementar é que, se o polinômio tem alguma raiz múltipla, então ele não é irreducível.[1] Generalizando este conceito, um polinômio p(x) em um corpo qualquer K é dito separável se todos os seus fatores irreducíveis tem apenas raízes simples.[1]

Um contra-exemplo, ou seja, um polinômio irreducível que tem raízes múltiplas, só pode ser obtido em corpos infinitos de característica p > 0.[1]

Seja K = \mathbb{Z}_p(y)\, o corpo de frações dos polinômios com coeficientes no corpo finito \mathbb{Z}_p = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}\,. Então, no corpo L = K(y^p)\,, o polinômio p(x) = x^p - y^p\, é irreducível, mas ele tem uma raiz, y, de multiplicidade p.[2]

Referências

  1. a b c d Beachy/Blair, Abstract Algebra, Galois Theory, Chapter 8: The Galois group of a polynomial [em linha]
  2. Paul Garrett, Abstract Algebra, 22. Galois theory [em linha]