Corpo real fechado

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Corpo real fechado, em álgebra abstrata, é um tipo de corpo que tem, em comum com os reais, a propriedade de que menos um não é o quadrado de algum elemento, nem a soma de quadrados, e, além disto, é um corpo maximal no sentido de que a única forma de aumentar este corpo e continuar mantendo esta propriedade é através de elementos transcendentes.

Formalmente:

Um corpo formalmente real (K, +, \times)\, é um corpo que satisfaz:1 2
  • (K, +, \times)\, é um corpo
  • x_1, x_2, \ldots x_n \in K \implies x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \ne -1\,
Um corpo real fechado R é um corpo formalmente real tal que, se E é uma extensão algébrica de R, e E é um corpo formalmente real, então E = R.1 2

As seguintes propriedades, familiares para quem estuda os números reais,[carece de fontes?], são consequências de um corpo ser real fechado:1

  1. Todo polinômio de grau ímpar tem, pelo menos, uma raiz
  2. R pode ser ordenado, e esta ordem é únicaNota 1
  3. O subconjunto de R formado pelos quadrados define a ordem, ou seja, é o conjunto dos números positivosNota 2

Em um corpo real fechado, todo número positivo α tem raiz quadrada, e pode-se definir, sem ambiguidade, \sqrt{\alpha}\, para a única raiz quadrada que é positiva.1

Para um corpo ordenado (K, ≤), as duas propriedades sobre polinômios, ou seja, que todo polinônio de grau ímpar tem raiz, e que todo número positivo tem raiz quadrada, são equivalentes a dizer que K é um corpo real fechado.2

Assim como existe o fecho algébrico de um corpo qualquer, um corpo formalmente real também pode ser incluído em um corpo real fechado. Ou, mais especificamente, se K é um corpo formalmente real, então existe uma extensão algébrica R de K que é um corpo real fechado. Esta extensão é chamada fecho real.1 2 Além disto, caso K tenha uma ordem definida, é possível construir R que preserva a mesma ordem.1

O teorema fundamental da álgebra, informalmente, que todo polinômio tem raiz, tem sua versão para corpos reais fechados. A prova do teorema é devida a Euler e Lagrange:1

Seja (R, ≤) um corpo ordenado com as seguintes propriedades:

  1. Todo polinômio de ordem ímpar em R tem uma raiz em R
  2. Todo elemento positivo em R tem uma raiz quadrada em R

então ao incluir neste corpo a raiz quadrada de menos um, i, gera-se o corpo R(i) que é algebricamente fechado.1

Observa-se que as duas propriedades acima são equivalentes a dizer que R é um corpo real fechado.1

O Teorema de Artin-Schreier diz que se um corpo C é algebricamente fechado e é uma extensão finita própria de um corpo R, então a extensão é de grau dois, e cada elemento de C pode ser escrito como x + i y, com x e y elementos de R, que é um corpo real fechado.3

Notas e referências

Notas

  1. Todo corpo formalmente real pode ser ordenado, porém a ordem não é, necessariamente, única.
  2. Existem duas definições de corpo ordenado que são equivalentes, uma através de uma relação x < y e outra através de um subconjunto, definido como conjunto dos números positivos.

Referências

  1. a b c d e f g h i Silvio Levy, 20. Ordered fields and Real fields [em linha]
  2. a b c d Don Monk, Math 6000, Model Theory, Notes on real-closed fields [em linha]
  3. Keith Conrad, The Artin-Schreier Theorem [em linha]