Correlação parcial

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Correlação parcial, em estatística, é uma medida da correlação entre duas variáveis quando se exclui o efeito, sobre estas, de uma terceira variável.[1]

Fórmula[editar | editar código-fonte]

Sendo X, Y e Z as três variáveis aleatórias, e \rho_{XY}\,, \rho_{XZ}\, e \rho_{YZ}\, os coeficientes de correlação amostral entre estas variáveis, a correlação parcial é dada por:[1]

\rho_{XY.Z} = \frac{ \rho_{XY} - \rho_{XZ} \ \rho_{YZ}}{\sqrt{1 - \rho_{XZ}^2} \ \sqrt{1 - \rho_{YZ}^2}}\,

Interpretação geométrica[editar | editar código-fonte]

Triângulo esférico

R. A. Fisher deu a seguinte interpretação geométrica do coeficiente de correlação e da correlação parcial:[2]

Considerando três variáveis aleatórias X, Y e Z e três amostras de tamanho n, respectivamente x1, x2, ... xn, y1, y2, ... yn e z1, z2, ... zn, pode-se representar a diferença de cada ponto em relação à média de cada amostra como vetores em um espaço euclidiano de n dimensões. Além disto, se cada um destes vetores for normalizado pelo desvio padrão amostral, obtém-se três vetores unitários OA, OB e OC [Nota 1] :

OA = (\frac{x_1 - \bar{x}}{s_X}, \frac{x_2 - \bar{x}}{s_X}, \ldots \frac{x_n - \bar{x}}{s_X})\,
OB = (\frac{y_1 - \bar{y}}{s_Y}, \frac{y_2 - \bar{y}}{s_Y}, \ldots \frac{y_n - \bar{y}}{s_Y})\,
OC = (\frac{z_1 - \bar{z}}{s_Z}, \frac{z_2 - \bar{z}}{s_Z}, \ldots \frac{z_n - \bar{z}}{s_Z})\,

Estes três pontos definem um triângulo esférico ABC, em que cada lado representa a correlação, e cada ângulo diedro a correlação parcial, através de:

\rho_{XY} = \cos c\,
\rho_{XZ} = \cos b\,
\rho_{YZ} = \cos a\,
\rho_{XY.Z} = \cos \gamma\,
\rho_{XZ.Y} = \cos \beta\,
\rho_{YZ.X} = \cos \alpha\,

Notas e referências

Notas

  1. No texto de Fisher, os vetores são OP, OQ e OR; a notação foi alterada por compatibilidade com a imagem do triângulo esférico.

Referências

  1. a b J. P. Lanceau, University of Delaware, Department of Psychology, PSYC 861--Regression (Spring 2012), Statistical Control: Partial Correlation [em linha]
  2. Fisher, Ronald Aylmer, The Distribution of the Partial Correlation Coefficient, Metron, 3: 329-332 (1924) [em linha] Reproduced with permission of Metron