Cosseno hiperbólico

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O Co-seno hiperbólico é uma função hiperbólica, assim chamadas pois a parametrização de curvas em cosh e senh originam hipérboles, enquanto que as funções trigonométricas dão origem a circunferências.

 \cosh(bt) = {e^{bt} + e^{-bt}\over 2}

Tal função é obtida a partir da representação da função f(x)=e^x da seguinte forma:

e^x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}+\frac{e^x-e^{-x}}{2}

em que o primeiro termo é o Co-seno hiperbólico e o segundo termo é o Seno hiperbólico

O gráfico da função é a catenária.

Estendendo-se o conceito de co-seno para o corpo dos números complexos através da Série de Taylor, verifica-se a seguinte equivalência:

\i\.\ \cosh(t)=\cos(it)\,

Onde i é a unidade imaginária.

Relações importantes (para t real):

 (\operatorname{senh}(t) + \cosh(t))^m = (e^t)^m = e^mt = \operatorname{senh}(mt) + \cosh(mt)


 \operatorname{cosh^2(t) - senh}^2(t) = 1

Demonstração:

 \operatorname{cosh^2(t) - senh}^2(t) = 
(\frac{e^t+e^{-t}}{2}) ^2-(\frac{e^t-e^{-t}}{2}) ^2=(\frac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4})-(\frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4})=\frac{4}{4}=1



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