Curva de perseguição

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Na matemática, curva de perseguição é a curva que descreve a trajetória de um ponto, o perseguidor, que se move em direção a outro, o perseguido. A curva descrita por esse último é definida como curva de fuga, podendo ser uma reta, no caso mais simples. Foi estudada pelo matemático francês Pierre Bouguer, em 1732. Contudo, o termo 'curva de perseguição' foi definido pelo matemático George Boole em 1859 no livro Treatise on Differential Equations (pág 246) [1] .

Duas condições devem ser especificadas para definir uma Curva de Perseguição:

  1. O perseguidor move-se apontando sempre diretamente para o perseguido;
  2. A velocidade do perseguidor é diretamente proporcional à do perseguido.

Exemplos clássicos para modelar a Curva são o de um gato caçando um rato, uma raposa perseguindo um coelho, ou a trajetória de um míssil teleguiado perseguindo o alvo.

Equação diferencial de uma curva de perseguição[editar | editar código-fonte]

Sejam  x,y as coordenadas de um ponto perseguidor, e  x',y' as coordenadas simultâneas do ponto perseguido. Seja a equação do caminho dado

 f(x',y')=0 \quad (1)

Note que o ponto perseguido é sempre tangente ao caminho dado pelo ponto perseguidor, cujas coordenadas satisfazem a equação da tangente.Então:
 y'-y= \frac{dy}{dx} \left(x'-x \right) \quad (2)
Por fim, sendo as velocidades dos dois pontos uniformes, o arco correspondente será obtido pela razão constante entre as velocidades com os quais eles. Então, se a velocidade do ponto perseguidor estiver para o ponto perseguido com  n:1 , teremos:

  n \times \sqrt[]{(dx'^2 + dy'^2 )} = \sqrt[]{(dx^2 + dy^2 )} ,

ou, tomando x como uma variável independente,

 n \times \sqrt[]{ \left( \frac{dx'}{dx} \right)^2 + \left( \frac{dy'}{dx} \right)^2 } = \sqrt[]{ \left( 1 +  \frac{dy}{dx} \right)^2 } \quad (3)

O sinal a ser dado em cada radical pode ser positivo ou negativo, de acordo com a tendência do movimento crescer ou diminuir no arco correspondente.

De  (2) e  (3) , quando a forma da função  f(x',y') é determinada,  x' e  y' podem ser encontrados em termos de  x, y e  \frac{dy}{dx} , e esses valores nos permitem reduzir  (1) para uma equação entre  x, y, \frac{dy}{dx} , \frac{d^2y}{dx^2} . Resta apenas resolver esta equação diferencial de segunda ordem. Se os sinais dos radicais são ambos mudados, o movimento em cada curva é simplesmente invertido, e a curva de perseguição torna-se uma curva de fuga. Mas a equação diferencial permanece inalterada, bem como a forma da curva, apenas com suas relações invertidas.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Uma partícula que parte de um ponto do eixo das abcissas, a uma distância  a da origem, e move-se uniformemente em uma direção vertical paralela ao eixo das ordenadas, é perseguido por uma partícula que parte simultaneamente da origem cuja velocidade é de razão  n:1 . Queremos saber o caminho do perseguidor.

Solução[editar | editar código-fonte]

A equação do caminho da primeira partícula dado por  x'=a , por  (2) , é

 y'-y= \frac{dy}{dx} (a-x)  ,

então,

 y'= y + \frac{dy}{dx} (a-x)  .

Assim nós temos que

 \frac{dy'}{dx}=0 , \quad \frac{dy'}{dx}=(a-x)\frac{d^2y}{dx^2} ,

e a equação diferencial, sendo ambos radicais positivos, é

 n(a-x)\frac{d^2y}{dx^2}= \sqrt[]{ 1 +  \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 } \quad (a) .

Então,

 \frac {\frac{d^2y}{dx^2}}{\sqrt[]{ 1 +  (\frac{dy}{dx} )^2 }} = \frac {1}{n(a-x)}.

Multiplicando por  dx e integrando

 \frac {dy}{dx} + \sqrt[]{ 1 +  \left(\frac{dy}{dx} \right)^2 } = c(a-x)^{1/n}

Logo,

 \frac {dy}{dx} = \frac {1}{2} \left(c(a-x)^{1/n} - \frac {1}{c} (a-x)^{1/n} \right)

Disso, se  n não for igual a  1 ,

 \frac {1}{2} \left( \frac {c(a-x)^{1- \frac {1}{n}}} { \frac {1}{n} -1} + \frac {1}{c} \frac {(a-x)^{1+ \frac {1}{n}}} { 1+ \frac {1}{n} } \right) +c' \quad (b)

mas se  n for igual a  1 , teremos, ao substituir  C por  \frac {1}{2} \left( \frac{1}{c} -c \right),

disso,

 y= \frac {C(x-a)^2}{2} + c' \quad (c)

que é representado por uma parábola.

O problema do Rato[editar | editar código-fonte]

Trajetórias de perseguição.

No problema do rato, cada ponto parte dos vértices de um polígono regular e faz simultaneamente o papel de perseguidor e perseguido, caçando o ponto mais próximo a esquerda, seguindo em sentido horário. Observa-se que a curva traçada por cada ponto é uma espiral logarítmica, e ligando-os em períodos regulares de tempo temos um efeito redemoinho [2] [3] de polígonos proporcionais ao original.

Referências

  1. (Em inglês) Boole, George (1732) Treatise on Differential Equations http://archive.org/stream/atreatiseondiff06boolgoog#page/n268/mode/2up
  2. (Em inglês) http://mathworld.wolfram.com/Whirl.html
  3. Simulação em vários polígonos do efeito redemoinho: (http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/forum/poligono2.html)

Ligações Externas[editar | editar código-fonte]

(Em inglês)http://www.hsu.edu/uploadedFiles/Faculty/Academic_Forum/2006-7/2006-7AFPursuit.pdf
(Em inglês)http://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
(Em alemão)http://did.mat.uni-bayreuth.de/~susanne/verfolgung/Hundekurven.html