Dízima periódica

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Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período[1] .

Dízima periódica simples[editar | editar código-fonte]

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula[1] .

Exemplos:

0,444444…

0,5125125125…

0,68686868…

0,354235423542..

Dízima periódica composta[editar | editar código-fonte]

Na dízima periódica composta, há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período[1] .

Exemplos:

  • 0,72222222…
  • 0,58444444…
  • 0,15262626…

Exemplos e notação[editar | editar código-fonte]

A repetição normalmente é representada pelo sinal de reticências:

  • \frac{1}{3^4} =0,012345679012345679\ldots

  • \frac{1}{3} =0,333333333333\ldots

  • \frac{1}{7} =0,142857142857\ldots

  • \frac{1}{9} =0,111111111111\ldots

Outra notação utilizada é a de pôr um traço sobre o período:

  • \frac{1}{3^4} =0,\overline{012345679}

  • \frac{1}{7} =0,\overline{142857}

  • \frac{1}{9} =0,\overline{1}

  • \frac{1}{3} =0,\overline{3}

Fração geratriz de uma dízima periódica simples[editar | editar código-fonte]

Toda dízima periódica representa um número racional[1] , isto é justificado de forma construtiva, ou seja, encontrando a fração que dá origem à dízima.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Seja a dízima x=1,2535353535\ldots\,. Observamos a repetição do termo 35 formado por dois algarismos, tomamos então o número 100x\,[1] :

100x=125,3535353535\ldots\,

Se subtraírmos x\, de 100x\, temos:

\begin{array}{rcl}
100x&=&125,3535353535\ldots \\
x&=&1,2535353535\ldots\\
99x&=&124,100000\ldots
\end{array}

Assim, concluímos que x=\frac{124,1}{99}=\frac{1241}{990}

O raciocínio acima mostra como eliminar a dízima periódica de um número e transformá-lo em fração.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

A geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, juntamente do período representando-os como numero inteiro e diminuido do ante-período e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anti-período. Se a dízima possui parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.

Ex.: Achar a geratriz de:

0,14275275275...

Ante-período=14: número de algarismos=2 (00) Período=275: número de algarismos=3 (999)

Se fizermos \frac{14275-14}{99900}\,, dará \frac{14261}{99900}\,

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica, capítulo IV. Texto disponível no wikisource