Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período .

Dízima periódica simples

Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula .

Exemplos:

0,444444…

0,5125125125…

0,68686868…

0,354235423542..

Dízima periódica composta

Na dízima periódica composta, há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entra na composição do período .

Exemplos:

• 0,72222222…
• 0,58444444…
• 0,15262626…

Exemplos e notação

A repetição normalmente é representada pelo sinal de reticências:

• $\frac{1}{3^4} =0,012345679012345679\ldots$
  
  
• $\frac{1}{3} =0,333333333333\ldots$
  
  
• $\frac{1}{7} =0,142857142857\ldots$
  
  
• $\frac{1}{9} =0,111111111111\ldots$
  
  

Outra notação utilizada é a de pôr um traço sobre o período:

• $\frac{1}{3^4} =0,\overline{012345679}$
  
  
• $\frac{1}{7} =0,\overline{142857}$
  
  
• $\frac{1}{9} =0,\overline{1}$
  
  
• $\frac{1}{3} =0,\overline{3}$
  
  

Fração geratriz de uma dízima periódica simples

Toda dízima periódica representa um número racional , isto é justificado de forma construtiva, ou seja, encontrando a fração que dá origem à dízima.

Exemplo

Seja a dízima $x=1,2535353535\ldots\,$. Observamos a repetição do termo 35 formado por dois algarismos, tomamos então o número $100x\,$ :

$100x=125,3535353535\ldots\,$

Se subtraírmos $x\,$ de $100x\,$ temos:

$\begin{array}{rcr} 100x&=&125,3535353535\ldots \\ x&=&1,2535353535\ldots\\ 99x&=&124,100000\ldots \end{array}$

Assim, concluímos que $x=\frac{124,1}{99}=\frac{1241}{990}$

O raciocínio acima mostra como eliminar a dízima periódica de um número e transformá-lo em fração.

Outro método mais elaborado para calcularem-se frações geratrizes é por meio de progressões geométricas e a soma de infinitos termos.

A geratriz de uma dízima períodica composta é a fração cujo numerador é o ante-período, juntamente do período representando-os como numero inteiro e diminuido do ante-período e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anti-período. Se a dízima possui parte inteira, ela deve ser incluída à frente dessa fração, formando um número misto.

Ex.: Achar a geratriz de:

0,14275275275...

Ante-período=14: número de algarismos=2 (00) Período=275: número de algarismos=3 (999)

Se fizermos $\frac{14275-14}{99900}\,$, dará $\frac{14261}{99900}\,$

Ver também

• 0,999...
• Sistema decimal
• Série geométrica
• Série (matemática)