Dado
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Os dados são pequenos poliedros gravados com determinadas instruções. O dado mais clássico é o cubo (seis faces), gravado com números de um a seis. Existem também dados de duas faces (representados por moedas), três faces (igual a um dado clássico de seis lados, mas com apenas três números, sendo cada um repetido duas vezes), quatro faces (em formato piramidal), oito faces, dez faces, 12 faces, 20 faces, entre outros.
Costuma-se usar uma barra aproximadamente cilíndrica com lados aplainados na construção dos dados, por exemplo, um dado de "cinco lados" teria lados de 72º.
A função do dado é gerar um resultado aleatório que fica restrito ao número de faces dele. Esse resultado, então, pode ser manipulado (caso seja um número) através de fórmulas caso o jogo exija. Por exemplo, um número entre 20 e 25 utilizando dados de seis lados exige a aplicação de uma fórmula matemática. Os dados são comumente utilizados em jogos de tabuleiro tradicionais e jogos de RPG.
Uma pequena curiosidade quanto aos dados clássicos (fabricados de forma correta), de seis lados: a soma dos lados opostos resulta no número sete. Ou seja, se de um lado temos o número um automaticamente teríamos o número seis do outro lado. Isso ocorre também com o dois casando com o cinco, e o três com o quatro. Isso se aplica também a qualquer outro dado, a soma de dois lados opostos sempre é igual ao número de faces mais um. Assim, um D20 somaria 21 nos lados opostos, um D12 somaria 13, e assim por diante.
Índice |
[editar] Histórico
Os primeiros dados eram provavelmente feitos de ossos de animais, como tornozelo de boi (ver imagem ao lado), que tinham um formato próximo ao do tetraedro. Marfim, osso, madeira, metal, e pedra foram materiais bastante utilizados, com o advento dos polímeros, os plásticos tornaram-se quase unanimidade.
O fato de os dados terem sido utilizados no Oriente na pré-história, fato comprovado por escavações feitas em cemitérios, mostra que eles provavelmente têm uma origem na Ásia. "Jogar os dados" é uma expressão mencionada em um jogo Indiano, o Rig-veda. Na forma primitiva do Jogo do osso (ou knucklebone), crianças atiravam o osso na expectativa de deixar certo lado para cima ou para baixo. Em Árabe a palavra knucklebone é a mesma para dado. Posteriormente os lados do osso ganharam valores numéricos, tornando-os mais parecidos com os dos dados atuais. Os jogos de dados eram comuns também na Grécia.
Encontrados em tumbas egípcias, os dados sugerem uma idade de cerca de 2000 a.C. Na Índia foram encontrados registros escritos de dados no grande épico Mahabharata, que data de mais de dois mil anos [1].
Os romanos eram jogadores exímios, especialmente na era de luxo do Império Romano, e jogar os dados era o passatempo predileto na época. Jogar dados por dinheiro era o motivo de muitas leis especiais em Roma. Uma delas dizia que um jogador não poderia ser punido caso permitisse o jogo dentro da sua própria casa, mesmo que tivesse sido trapaceado ou roubado. Jogadores profissionais de dado eram comuns, sendo que alguns dos seus dados estão preservados em museus. As casas-públicas eram o refúgio dos jogadores, com alguns afrescos que retratam muito bem este cotidiano.
Tácito diz que os alemães eram muito viciados em jogar dados, tanto que, mesmo tendo perdido tudo no jogo, eram capazes de apostar até a própria liberdade. Durante a Idade Média, jogar dados se tornou o passatempo preferido dos Cavaleiros, existindo até escolas de jogadores de dados e também guildas (comunidades, no Brasil) de jogadores. Depois do fim do feudalismo o famoso Landsknecht, mercenário alemão, ficou conhecido pela reputação de ser o melhor jogador de dados no seu tempo. Curiosamente estes dados são encontrados em imagens tanto de homens quanto de bestas. Na França, cavaleiros e donzelas eram adeptos do jogo de dados.
Na China, Índia, Japão, Coréia, e outros países da Ásia, dados sempre foram populares e ainda são. As marcas no dominó chinês evoluíram das marcas nas faces dos dados, utilizando duas de cada vez.
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| Dados havaianos | Dados de Hoo Hey How |
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| Dados chineses | Dados tailandeses |
Há muito tempo existe um jogo popular na China, no Vietname (ou Vietnã no Brasil) e na Tailândia, chamado de "Hoo Hey How" ou "Bau Cua Ca Cop", é um tipo de loteria.
No Havaí encontram-se dados decorados no estilo Kaha Ki'i, feitos à mão, datando de 900 d.C. Estes dados nos remetem às formas primitivas de comunicação, utilizando argila.
[editar] Probabilidade
Para uma única rodada, com um dado (de seis lados), a probabilidade de se tirar um número é de uma em seis. Entretanto para duas rodadas, o total não é uniformemente distribuído, é distribuído em uma forma triangular, como na tabela abaixo.
| Total dos Dados | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilidade | 1/36 | ²/36 | ³/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | ³/36 | ²/36 | 1/36 |
Para cada rodada com mais de três dados, a curva começa a ter uma forma mais aproximada a de um sino.
A probabilidade de repetição de um número aleatório é 1/6 para cada dado adicional:
| Número de dados | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Probabilidade | 1/6 | 1/36 | 1/216 | 1/1296 |
A probabilidadade de uma sequência qualquer de dados aconteça, então é 
, onde s é o número de faces do dado e i quantos números há na sequência.
Essa mesma probabilidade é equivalente para alguns dos dados, que são sólidos de Platão. Exemplo: dado de quatro lados e o de oito lados. Essa distribuição não ocorre da mesma maneira para os dados ímpares.
[editar] Cálculo das Probabilidades
Existe uma maneira de obter as probabilidades no lançamento de sólidos regulares e honestos, v.g.: como as probabilidades se distribuem quando lançamos três sólidos de quatro faces? Devemos primeiramente saber, quais são os resultados possíveis para o lançamento de três tetraedros. Se temos três sólidos a soma das faces voltadas para cima pode assumir um valor mínimo de 3 e valor máximo de 12(doze), ou seja, as probabilidades irão se distribuir entre os seguintes valores: 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. Segundo precisamos saber qual é o número de combinações possíveis, se temos três tetraedros existem 64 possibilidades (quatro elevado a terceira potência). Terceiro, qual o peso das somas? Como é possível obter uma soma 3 no aludido lançamento? Ora, apenas de uma maneira, saindo as faces: (1;1;1). Qualquer outra face impossibilita a soma 3, portanto a probabilidade de se obter a soma 3 é igual a razão 1/64 e podemos proceder da mesma maneira para se obter qualquer outra soma, v.g.: qual a probabilidade de obtermos a soma 5? Devemos contar novamente os arranjos possíveis: (1;1;3), (1;3;1), (3;1;1), (1;2;2), (2;1;2) e (2;2;1), desta forma podemos ver que a probabiliade de se obter a soma 5 é igual a 6/64. Mas como obter essas probabilidades sem preciasr ficar contando, imagina calcular a distribuição de probabilidades no lançamento de 5 sólidos de 6 faces, invariavelmente vamos deveríamos realizar a contagem ou então, podemos utilizar uma extensão do Triângulo de Pascal, observe:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
o 3 da direita, na quarta linha, é obtido com a soma dos números da linha superior, mais precisamente com a soma dos dois últimos números: o 2 e o 1. O 4 da direita, na quinta linha, é obtido com a soma do 3 o do 1 da linha superior e assim sucessivamente, experimente o 6 da quinta linha, logo acima dele temos 3 e 3. Resta-nos então utilizar esse raciocínio para obter as probabilidades, não só de moedas (um sólido de duas faces), mas para qualquer sólido. O nosso exemplo se baseia no lançamento de três tetraedros, então vamos aplicar o triângulo nesse exemplo. Primeiro, se no lançamento de moedas o triângulo numérico, repare na segunda linha, é composto pelos algarísmos 1 e 1, ou seja temos dois algarismos 1 pois temos duas faces então, se queremos o triângulo para o lançamento de quatro faces devemos ter quatro algarismos 1 na segunda linha. Segundo, os outros números são obtidos somando de quatro em quatro os números da linha superior e, não de dois em dois como no caso das moedas, sendo assim, observe como fica sua construção:
1
1 1 1 1
1 2 3 4 3 2 1
1 3 6 10 12 12 10 6 3 1
na quarta linha temos dez algarismo e que, também é o número de somas posíveis para o lançamento de três tetraedros (3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), "colando a linha das somas acima da quarta linha do triângulo" temos:
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 3 6 10 12 12 10 6 3 1
então podemos vizualizar, a soma da linha de baixo é igual a 64 e cada número dessa linha é o número dos arranjos existentes, então para sabermos a probabilidade de se obter uma soma 5 no lançamento de três tetraedros basta tomar o número que se relaciona com o 5 da primeira linha e dividir por 64, ou seja 6/64, então a probabilidade de obtermos a soma 7 é 12/64, de obtermos a soma 6 é 10/64 e assim por diante.
Usando o mesmo método, vamos aplicá-lo ao lançamento de três d-6 e observar como as probabilidades se distribuem, observe:
1
1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
a quarta linha possui 16 valores e as somas possíveis também perfazem uma total de 16 valores: 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17 e 18. Vamos então "colar uma linha acima da outra" para tornar visível a distribuição:
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
o total de possibilidades é de 216 ou seis elevado a terceira potência, pois são três d-6, portanto no lançamento de três d-6, a probabilidade de obtermos 12 como soma das faces voltadas para cima é igual a 25/216, de obtermos 14 é igual a 15/216. Podemos ver que o resultado mais provável e o dez e o 11, que é igual a 27/216. Ou seja, para estender essa resolução para outros sólidos, basta aplicar corretamente o triângulo numérico, pois na verdade o Triângulo de Pascal não é o único, existe uma infinidade de triângulos, cada um se correspondendo com um certo sólido, que foram reunidos e batizados de Sólidos Probabilísticos, esse método foi apresentado na III Semana da Licenciatura em Física do CEFET-SP, realizado entre os dias 28 de agosto a 1 de setembro de 2006.
[editar] Materiais
O material do primeiro dado é desconhecido, mas é provável que tenha origem em algum material natural, resistente e maleável o suficiente para dar a forma desejada. Um par de icosaedros (polígono de 20 lados) datado da época romana está em exposição no Museu Britânico. Em Roma foram encontrados dados de madeira, marfim, osso e chumbo. Dados de cobre e ouro também já foram encontrados, mas assim como os dados de vidro, estima-se que sejam meramente decorativos, já que no caso dos "metais moles" a deformação seria muito grande e o vidro poderia quebrar com impacto.
Dados de precisão utilizados em cassinos, são feitos de acetato de celulose. Estes dados podem ter um polimento final tornando-os transparentes, foscos ou translúcidos. O vermelho é a cor mais comum, mas existem cassinos com dados verdes, âmbar, azul e outras cores. Os dados de cassino têm seus números escavados no cubo, e preenchidos com uma tinta do mesmo peso e densidade do acetato, para que o dado permaneça perfeitamente balanceado. Nos jogos de cassino, cinco dados são usados, todos são marcados com um número de série para evitar serem substituídos por trapaceiros.
Os dados poliédricos são geralmente feitos de plástico, às vezes de metal, ou madeira, dados de pedras semi-preciosas também podem ser encontrados. No início, durante as décadas de 70 e 80, os dados poliédricos eram feitos de um plástico mole que se deformava com o uso. Com o tempo de jogo, as quinas começavam a arredondar até que o dado se tornava inútil. Os dados poliédricos modernos são feitos com plástico de alto impacto, podendo durar anos sem apresentar deformações visíveis. Lou Zocchi e a sua companhia Gamescience não só garante que seus dados de alto impacto não vão deformar-se como os dados de companhias concorrentes, mas também criticou por muitos anos os métodos injustos de manufatura de dados, empregando um polimento tosco e materiais de segunda categoria.
Dados poliédricos podem ser encontrados na maioria das lojas de RPG. No início dos jogos de RPG, a maioria dos dados vinha sem os números pintados, e os jogadores se dedicavam a pintar seus próprios números. Alguns dados de 20 faces desta época vinham numerados de zero à nove duas vezes; metade dos números tinha de ser pintado com uma cor de maior contraste, para dar a entender que eram as faces cujos números tinham "maior" valor. Estes também eram usados como um dado de dez faces duplo, ignorando a diferença de cores. .
[editar] Dados cúbicos, seis lados, com valores diferentes
A maioria dos dados tem em suas face, ou lados, uma série contínua de números, começando com um (ou zero), sob a forma de caracteres arábicos ou pontos. Algumas exceções conhecidas e outras nem tanto, são:
- Dado colorido (exemplo: com as cores dos peões de um jogo, em que cada jogador controla um pião);
- Dado com animais;
- Dado de pôquer, com os naipes e valores das cartas;
- Dados com letras;
- Dados com números e operações matemáticas;
- Dados com frações;
- Dados com números Romanos;
- Dados duplos, ou com potências de dois (dois, quatro, oito, 16, 32, 64);
- Dado de três, com apenas três números (dois, dois, três, três, quatro, quatro ou um, um, três, três, cinco, cinco);
- Dados de trapaça:
- Um lado com três, dois lados com seis, um lado com cinco e dois com quatro;
- Um dado com dois números um e sem o número seis;
- Dados com palavras (exemplo: no jogo do amor são dois dados, um com as ações e outro com as partes do corpo);
- Dados com imagens do Kamasutra;
- dado de apostas com os números 2, 4, 8, 16, 32 e 64. é utilizado no gamão e alguns outros jogos de tabuleiro. esse dano não é lançado; sua finalidade é indicar a cada momento qual multiplicado está em efeito para o resultado final do jogo e qual dos dois jogadores pediu mais recentemente para aumentar a aposta. Se uma proposta de dobra é rejeitada, o jogo termina imediatamente, com a derrota do jogador que não aceitou a dobra. Também pode ser usado um octaedro , com 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128.
- Dados especiais de jogos de RPG podem conter inúmeras variações, desde partes do corpo do inimigo a serem atingidas até moedas de ouro ganhas;
- Dados de bruxaria podem ter caveiras, morcegos, crucifixos e outros ícones conforme o tipo de magia;
- Dado dos elementos, contendo seis desenhos: Fogo, Água, Terra, Ar, Vida e Morte.
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| Dados de Letras | Dados de Matemática | Dados de Pôquer |
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| Dados de Cores | Dados de Animais |
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| Dados de Frações | Números Romanos | Dado do Kamasutra |
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| Dados de RPG |
[editar] Dados e suas formas
Dados poliédricos são dados com mais de seis lados ou menos. Eles foram quase uma exclusividade de adivinhos e outras práticas ocultas, mas rapidamente tornaram-se populares entre os jogadores de RPG, Jogos de cartas e alguns jogos de tabuleiro. Embora o uso de dados poliédricos seja relativamente novo na nossa cultura atual, algumas civilizações antigas usavam algo parecido em jogos (uma evidência são os dois dados de 20 faces datados da era romana em exposição no Museu Britânico). Estes dados são em sua maioria feitos de plástico, e apresentam geralmente números em suas faces e não tanto com pontos como os dados comuns de seis lados. Números semelhantes são distinguidos com um ponto na parte inferior (6. e 9.) ou sublinhados (6 e 9).
Muitas vezes quando se utiliza dados multifacetados, refere-se a eles pelo número de lados e a letra 'd', como d6 para um dado de seis lados, e d10 para um dado de dez lados, e assim por diante. Caso seja necessário mais de um dado é acrescentado um número a frente do 'd' - Número de dados 'd' Número de lados de cada dado. Combinações de dados e de outros números também são possíveis, tais como '1d10-3' seria um dado de dez lados e o seu resultado menos três. Quando não se tem dois dados com mesmo número de lados para um '2d8', por exemplo, joga-se o mesmo dado duas vezes. Isso é muito útil para jogos como Banco Imobiliário e RPGs em geral. O dado estilo peão tem uma forma semi-cilíndrica quando com mais de dez lados. Também propiciam a possibilidade de um dado com três lados (sem contar os outros seis das pontas), em forma de uma barraca.
Os sólidos de Platão são comumente utilizados para dados de quatro, seis, oito, 12, e 20 faces. Outras formas são encontradas com cinco, sete, dez, 16, 24, 30, 34, 50, ou cem lados, mas com exceção do de dez lados, eles são raramente usados.
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| Dado de 10 faces | Dado de 20 faces |
Um grande número de probabilidades diferentes pode ser alcançado utilizando-se estes dados; por exemplo, dois dados de dez lados ou um dado de 20 lados têm probabilidades diferentes. Utilizar múltiplas vezes o mesmo dado gera uma aleatoriedade melhor e descartando os maiores e menores números também se tem uma distribuição melhor. Assim os jogos podem atingir o grau de probabilidades da realidade, e simular de forma muito boa os eventos desejados, uma característica muito importante para alguns RPGistas.
Existem dúvidas sobre essa probabilidade, e confiabilidade dos dados. Os dados de casinos são especialmente fabricados e exigem um grau de qualidade muito alto para serem utilizados em tais jogos; os outros dados, como de jogos de tabuleiro e RPG, não têm o mesmo controle.
Moedas, Runas ou marcadores são utilizados como dados de duas faces ("d2"). (Devido a sua forma que propicia maior probabilidade para um de dois lados e muito pouca para o terceiro).
Ver também: Zocchihedron
[editar] Formas mais comuns
As formas mais comuns de dados são os sólidos de Platão, que são simétricos. Existe também o trapezóide pentagonal, no qual uma das faces tem quatro lados, 12 vértices, 20 arestas e dez faces, conhecido como 'd10'.
| Tipo | Forma | sólidos de Platão | Altura | Peso | Descrição | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| d4 | tetraedro |  |
Sim | 18 mm | 2 mg | Cada face tem três números, alinhados de acordo com cada aresta do triângulo, de modo que os três lados visíveis apresentem o mesmo número na posição de leitura. Estes dados não rolam muito bem, então se costuma jogá-los para o ar. |
| d6 | cubo |  |
Sim | 15 mm | 3,3 mg | O dado comum. |
| d8 | octaedro |  |
Sim | 23 mm | 3,1 mg | Cada face é um triângulo; algo parecido com duas pirâmides coladas uma à base da outra, ou ainda um balão de festa junina. |
| d10 | trapezóide pentagonal |  |
Não | 22 mm | 3,5 mg | Cada face é um quadrilátero; Cinco se encontram no vértice superior, e as outras cinco no vértice inferior; as dez faces geralmente têm números de zero à nove, dificilmente de um à dez, e em quase todos as faces com números ímpares convergem para o mesmo vértice, e as faces com números pares convergem para o outro vértice; |
| d12 | dodecaedro |  |
Sim | 17 mm | 4 mg | Cada face é um pentágono regular que encosta em outras cinco faces diferentes. |
| d20 | icosaedro |  |
Sim | 22 mm | 5 mg | As faces são triângulos equiláteros. Geralmente faces opostas somam 21. |
[editar] Variações incomuns
[editar] Fotos
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| D3 transparente | D3 de madeira | D5 faces, azul | D5 vermelho |
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| D24 Icositetraedro deltoidal | D24 Hexaedro tetrakis |
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| Dado de 7 lados | Dado de 14 lados | Dado de 16 lados | Dado de 18 lados |
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| Dado de 30 lados | Dado de 34 lados | d100 Zocchihedron |
[editar] Tabela
| Tipo | Forma | Figura | Sólido de Catalan | Sólido de Arquimedes | Descrição |
|---|---|---|---|---|---|
| d2 | cilindro |  |
Não | Não | Um dado de dois lados não é realmente um dado. Não passa de uma moeda ou uma chapa fina de outro formato. Existem dados de dois lados utilizados em jogos de RPG, mas é extremamente difícil encontrá-los para vender. O mais comum é jogar '1d6', e levar em conta apenas se o número é ímpar ou par, independente do valor. |
| d3 | Prisma Triangular |  |
Não | Não | Um dado realmente raro, um dado d3 é essencialmente um prisma triangular com as pontas arredondadas ou com bicos facilitando ser jogado como um peão. Com as faces triangulares formando uma pequena pirâmide de base triangular o dado d3 torna-se pedra preciosa. Os números nas faces vão de um a três. Além deste tipo de d3 "verdadeiro", é possível utilizar um dado de d6 com os números de um a três duplicados. É um dado tão justo quanto, e muito mais comum do que, o dado d3 "verdadeiro". Também é possível encontrar dados d3 na forma de uma bola de "Futebol americano" ou bola de "Rugby", onde os cantos são realmente arredondados. |
| d5 | Prisma quadrado |  |
Não | Não | Um dado muito raro. O dado d5 é parecido com o d3, só que as faces tendem a ter o mesmo tamanho, sendo duas quadradas e quatro retangulares. Estas formas das faces são variáveis, podem ter cantos agudos ou arredondados. É comum que os cantos vivos sejam achatados, ou planificados de forma a facilitar o rolamento do dado. |
| d7 | Prisma Pentagonal |  |
Não | Não | Este dado também é difícil de encontrar, com cinco faces quadradas e duas faces pentagonais. As faces pentagonais têm número seis e sete, mas também podem ter números complementares para ajudar na identificação das outras faces, quando nenhuma das faces pentagonais cair para cima ou para baixo. Estes dados são usados no Gamão. Alguns destes dados começam com zero e não um. |
| d12 | Dodecaedro rômbico |  |
Sim | Não | Cada face é um losango. |
| d14 | Cuboctaedro |  |
Não | Sim | Oito faces triangulares e seis faces quadradas. Também conhecido como dado de duas semanas. |
| d16 | Octógono bipiramidal | Faltando | Não | Não | Cada face é um triângulo isósceles. |
| d18 | Dodecaedro Romboédrico truncado |  |
Não | Não | São seis faces quadrangulares e 12 hexagonais. |
| d24 | Hexaedro tetrakis |  |
Sim | Não | Cada face é um triângulo isósceles. |
| d24 | Icositetraedro deltoidal |  |
Sim | Não | Cada face tem a forma de um quadrilátero deltóide. |
| d30 | Triacontaedro rômbico |  |
Sim | Não | Cada face é um losango. |
| d34 | Pião |  |
Não | Não | Este dado é basicamente um pião multifacetado, com 17 números em cada parte, superior e inferior. |
| d48 | Dodecaedro disdiakis |  |
Sim | Não | Este dado é extremamente raro. São 48 faces, cada uma é um triângulo escaleno. |
| d100 d% |
Semi-esférico |  |
Não | Não | Zocchihedron é uma marca registrada. Dados d100 de verdade são raros, eles são apelidados de Estrela da Morte devido à semelhança na estrutura da nave do filme Guerra nas Estrelas. Dois dados d10 podem substituir um dado d100, especialmente se numerados de 00, 10, 20, 30 … 90. O uso destes dados (incluindo dois d10, sendo um, de zero a nove, a centena e outro, de 00 a 90, a dezena) também se refere ao dado de porcentagem ou d%. |
Lista completa de dados com faces uniformes (com todos os lados congruentes):
- Sólidos Platónicos: cinco poliedros: (quatro, seis, oito, 12, 20 lados);
- Sólidos de Catalan: 13 Sólidos de Arquimedes duplos: (12, 24, 30, 48, 60, 120 lados);
- Bipiramides: Todas pirâmides duplas, faces triangulares: (seis, oito, dez, 12, ... lados);
- Trapezóides: Todos antiprisma duplos, faces de losango: (seis, oito, dez, 12, ... lados);
Também existem os dados dentro de dados, ou dados duplos, ou ainda dois em um, são dados transparentes (geralmente d6 e d10), e ocos. Dentro eles têm outro dado com o mesmo número de lados. É comum que se some o resultado dos dois, ou se subtraia, já que um gira livremente dentro do outro, mas a confiabilidade destes dados é muito questionada por jogadores experientes.
[editar] Referências
- ↑ Encyclopedia Britannica Inc. (1980), 15th, p.702
[editar] Ligações externas
- Britannica Dice History
- Geometria Espacial
- Wolfram MathWorld: Dice (em inglês) Análise das probablididades de um dado.
- A Brief History of Dice (em inglês) (História dos dados nos jogos Dungeons & Dragons)
