Decaimento exponencial

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Numa substância radioativa, cada átomo tem uma certa probabilidade, por unidade de tempo de se transformar num átomo mais leve emitindo radiação nuclear no processo. Se p representa essa probabilidade, o número médio de átomos que se transmutam, por unidade de tempo, é pN, em que N é o número de átomos existentes em cada instante.[1] O número de átomos transmutados por unidade de tempo é também igual a menos a derivada temporal da função N


  {dN \over dt} = - pN

Decaimento exponencial de uma substância radioativa.

A massa dos correspondentes átomos, x, é diretamente proporcional a N e assim obtemos a seguinte equação diferencial


  {dx \over dt} = - p x

onde p é uma constante, designada de constante de decaimento. A solução geral desta equação é uma função que diminui exponencialmente até zero


  x = C e^{-pt}

e a solução única para a condição inicial x=x_0 no instante inicial é (figura ao lado)


  x = x_0 e^{-pt}

A definição de meia-vida da substância define-se como o tempo necessário para a massa diminuir até 50% do valor inicial; a partir da solução obtida temos


  0,\!5 = e^{-pt} \qquad    t = \frac{\ln 2}{p}

Quanto maior for a constante de decaimento p, mais rápido diminuirá a massa da substância (ver figura).

Uma substância radioativa presente em todos os organismos vivos é o carbono 14 que decai transformando-se em azoto, com uma meia-vida de aproximadamente 5580 anos. O conteúdo de \mathrm{C}_{14} em relação ao \mathrm{C}_{12} de qualquer organismo vivo é o mesmo.

A razão é a seguinte: no fim da cadeia alimentar dos seres vivos estão os organismos que absorvem o carbono diretamente da atmosfera e portanto a relação \mathrm{C}_{14}/\mathrm{C}_{12} nos seres vivos é a mesma que na atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em processo de decomposição perdem \mathrm{C}_{14} como resultado do decaimento radioativo e não o regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é transformado novamente em \mathrm{C}_{14} pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo madeira obtida de uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14.[1]

Referências

  1. a b [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.