Fração

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Fração (AO 1945: fracção) é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", "quebrado" (do verbo frangere: "quebrar").

Representação gráfica de fração. Observa-se facilmente a equivalência entre 2/4 e 1/2.

História[editar | editar código-fonte]

No antigo Egito por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do Rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizavam os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.[1]

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

Definições[editar | editar código-fonte]

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como \frac{a}{b}, designa o inteiro dividido em {b} partes iguais ao qual usa-se o número {a} de partes.[2] Neste caso, {a} corresponde ao numerador, enquanto {b} corresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.[2] [3]

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas.

Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4 = \frac{3}{4} da folha. ou seja, você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração \frac{56}{8} designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais, cujo conjunto é representado por \mathbb Q. Assim, o conjunto dos números racionais podem ser escritos na forma \frac {a}{b}, sendo a,b \in \mathbb{Z} e b \neq 0, o que resulta em: \mathbb{Q}=\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b}\end{matrix}\,|\,a\in\mathbb{Z}\,;\,b\in\mathbb{Z^{*}}\right\}.[4] [5]

Outro modo de enxergar frações é imaginar uma linha reta entre os números 0 e 1. As frações serão pontos nessa reta. Por exemplo, a fração 1/2 é representada por um ponto exatamente na metade dessa reta.

É possível efetuar operações básicas com as frações: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Tipos de Frações[editar | editar código-fonte]

  • Própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: \frac{1}{2}
  • Imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.[2] Ex.: \frac{9}{5}
  • Mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária.[6] Ex.: 2 \frac{1}{3}. Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: 3\frac{1}{2} => 2x3=6; 6+1=7 (7=numerador/2=denominador), e assim por diante, repetindo o denominador
  • Aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador, ou seja um número inteiro escrito em forma de fração. Ex.: 1=\frac{4}{4}
  • Equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: \frac{4}{4} = \frac{2}{2} ou \frac{3}{7}=\frac{6}{14}. Veja que as frações se relacionam por um fator multiplicativo: no primeiro caso, \frac{4}{4} é 2 vezes \frac{2}{2} e no segundo caso \frac{6}{14} é 2 vezes \frac{3}{7}
  • Irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: \frac{9}{22}
  • Unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: \frac{1}{3}
  • Egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: {\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}
  • Decimal: o denominador é uma potência de 10(100,1000,10000…). Ex.: \frac{437}{1000}
  • Composta: fração cujo numerador e denominador são frações: \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}
  • Contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais  (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k} ) da seguinte maneira a_{0} + \frac{1}{ a_{1}+ \frac{1}{ a_{2} \dots \frac{1}{a_{k-1} + \frac{1}{a_{k}}} } }
  • Algébrica: fração onde no denominador, há incógnita \frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}

Adição e Subtração[editar | editar código-fonte]

A adição e a subtração de frações são feitas utilizando mínimo múltiplo comum, ou MMC.

Ex.: \frac{2}{9} + \frac{3}{6} = \frac{2\times2+3\times3}{18} = \frac{13}{18} (O MMC de 9 e 6 é 18)

Multiplicação[editar | editar código-fonte]

A multiplicação é efetuada apenas multiplicando-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.: \frac{3}{7}\times\frac{5}{2} = \frac{15}{14}

Divisão[editar | editar código-fonte]

Para efetuar a divisão entre duas frações, multiplica-se a fração que está no numerador pelo inverso da fração que está no denominador. Ex.:\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{3}{4}\times\frac{2}{5} = \frac{6}{20} = \frac {3}{10}.

No último passo foi feita Simplificação de Frações.

Exponenciação ou potenciação de frações[editar | editar código-fonte]

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:[7]

\left (\dfrac{1}{2}  \right )^2 = \dfrac{1^2} {2^2} = \dfrac{1}{4} = 0,25

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

 \left (\dfrac{1}{2}  \right )^2 = ({0,5})^{2} = 0,25

Radiciação[editar | editar código-fonte]

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação:[7]

\sqrt{\frac{1}{4}}= \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = 0,5

E, analogamente, é possível fazer a divisão antes da radiciação.

Expoente fracionário[editar | editar código-fonte]

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{64} = {4}

Simplificação de frações[editar | editar código-fonte]

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

\frac{4}{8}

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

{{\frac{4:4}{8:4}}} = {\frac{1}{2}}

Comparação entre frações[editar | editar código-fonte]

Uma propriedade importante para se comparar frações é a seguinte:

Se \frac{a}{b} e \frac{c}{d} são frações irredutíveis, com a, b, c e d inteiros positivos, então \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a = c \land b = d.

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

\frac{2}{5}   ?   \frac{3}{7}

O MMC entre 5 e 7 é 35.

{35 \over {5}} = {7}     7 \times {2} = {14}
{35 \over {7}} = {5}     5 \times {3} = {15}

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

\frac{14}{35} = \frac{2}{5}   e   \frac{15}{35} = \frac{3}{7}

Uma vez igualados os denominadores, pode-se fazer a comparação entre as frações:

{\frac{14}{35}} < {\frac{15}{35}} logo {\frac{2}{5}} < {\frac{3}{7}}

Conversão entre frações impróprias e mistas[editar | editar código-fonte]

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

\frac{7}{3}

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O resto será o numerador da fração mista e o divisor será o denominador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

2 \frac{1}{3}

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Corpo de Frações[editar | editar código-fonte]

Se um conjunto A tem duas operações binárias + e x satisfazendo determinadas propriedades, pode-se perguntar em que condições é possível estender A para um outro conjunto B com operações binárias + e x, de forma que (B,+,x) seja um corpo e as operações (A+B) e (AxB) dêem o mesmo resultado quando efetuadas em A ou em B. Quando possível, temos a construção do corpo de frações.

Notas e referências

  1. Luiz, Wilson (2003). A História da Matemática <http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page03.htm>. Visitado em 2 de abril de 2012
  2. a b c João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica Capítulo III, Theoria das fracções ordinárias, 98 [Wikisource]
  3. NOVA ESCOLA - REPORTAGEM - Frações são números? Um debate animado
  4. Conjuntos Numéricos <http://www.fund198.ufba.br/apos_cnf/conjunu.pdf>. Visitado em 4 de abril de 2012
  5. Conjuntos Numéricos <http://www.mundovestibular.com.br/articles/5951/1/Conjuntos-Numericos/Paacutegina1.html>. Visitado em 4 de abril de 2012
  6. João José Luiz Vianna, Elementos de Arithmetica Capítulo III, Theoria das fracções ordinárias, 100
  7. a b ARANTES, Flávia Borges; CASTRO, Marco Antonio Claret de; COSTA, Patrícia Oliveira. Matemática Elementar. São João del-Rei: UFSJ, 2010. Disponível em: <http://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/demat/PASTA-PROF/claret/matematica_elementar_versao_final27072011.doc>.