Densidade de carga

A densidade de carga linear, superficial ou volumétrica é uma quantidade de carga elétrica em uma linha, superfície ou volume respectivamente. Ela é medida em coulombs por metro (C/m), metro quadrado (C/m²), ou metro cúbico (C/m³), respectivamente. Como existem cargas positivas e negativas, a densidade pode tomar também valores negativos. Assim como qualquer densidade, ela depende da sua posição. Ela não deve ser confundido densidade de portadores de carga. Como relatado na química, a densidade de carga pode se referir a distribuição sobre o volume de uma partícula, átomo ou molécula. Assim, um catião de lítio possui mais densidade de carga do que um catião de sódio, pois o sódio possui raio atômico maior.

Densidade de carga clássica

Carga contínua

A integral da densidade de carga $\alpha_q(\mathbf r)$, $\sigma_q(\mathbf r)$, $\rho_q(\mathbf r)$ sobre a linha $l$, superfície $S$, ou volume $V$, é igual a carga total $Q$ desta região, definida como:

$Q=\int\limits_L \alpha_q(\mathbf r) dl$,

$Q=\int\limits_S \sigma_q(\mathbf r) dS$,

$Q=\int\limits_V \rho_q(\mathbf r) \,\mathrm{d}V.$

Esta relação define densidade de carga matematicamente. Note que alguns símbolos utilizados para denotar várias dimensões podem variar dependendo do campo de estudo. Comumente a notação utilizada é $\lambda$, $\sigma$, $\rho$; or $\rho_l$, $\rho_s$, $\rho_v$ para (C/m), (C/m²), (C/m³) respectivamente.

Densidade de carga homogênea

Para o caso de uma densidade de carga homogênea, que é independente da posição, é igual a $\rho_{q,0}$, a equação simplifica-se a:

$Q=V\cdot \rho_{q,0}$

A prova é simples. Comece com a definição de carga de um volume qualquer:

$Q=\int\limits_V \rho_q(\mathbf r) \,\mathrm{d}V$

Então, pela definição de homogeneidade, $\rho_q(\mathbf r)$ é uma constante que será denotaremos $\rho_{q,0}$ para diferenciar entre a forma constante e não constante, e então, pela propriedade da integral, ela pode ser levada para fora da integração, resultando em:

$Q=\rho_{q,0} \int\limits_V \,\mathrm{d}V$

Novamente, pelas propriedades das integrais:

$\int\limits_V \,\mathrm{d}V$ = $V$

Entretanto, pela substituição:

$\rho_{q,0} \int\limits_V \,\mathrm{d}V$ = $V\cdot \rho_{q,0}$

Que resulta em:

$Q=V\cdot \rho_{q,0}$

Que é precisamente o resultado mencionado acima para a densidade volumétrica de carga. As provas para a densidade linear e superficial são equivalentes e seguem os mesmos argumentos

Cargas discretas

Se a carga em uma região consiste de $N$ portadores de cargas pontuais, tal como elétrons, a densidade de carga pode ser expressa pela função delta de Dirac. Por exemplo, a densidade volumétrica de carga é:

$\rho_q(\mathbf r) =\sum_{i=1}^N q_i\cdot \delta(\mathbf r - \mathbf r_i).$

Aqui, $q_i$ é a carga e $\mathbf r_i$ a posição do i-ésimo portador de carga. Se todos portadores de carga possuírem a mesma carga, então a densidade de carga pode ser expressa em função da densidade de portadores de cargas $n(\mathbf r)$:

$\rho_q(\mathbf r)=q\cdot\sum_{i=1}^N \delta(\mathbf r - \mathbf r_i)=q\cdot n(\mathbf r)$

Novamente, as equações equivalentes para densidade de carga linear e superficial seguem diretamente das relações acima.

Densidade de carga quântica

Em mecânica quântica, densidade de carga é relacionado a função de onda $\psi(\mathbf r)$ pela equação

$\rho_q(\mathbf r) = q\cdot|\psi(\mathbf r)|^2$

quando a função de onda é normalizado como

$Q= q\cdot \int |\psi(\mathbf r)|^2 \, d\mathbf r$

Aplicação

A densidade de carga aparece na equação de continuidade que segue das Equações de Maxwell no eletromagnetismo.