Densidade de carga

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A densidade de carga linear, superficial ou volumétrica é uma quantidade de carga elétrica em uma linha, superfície ou volume respectivamente. Ela é medida em coulombs por metro (C/m), metro quadrado (C/m²), ou metro cúbico (C/m³), respectivamente. Como existem cargas positivas e negativas, a densidade pode tomar também valores negativos. Assim como qualquer densidade, ela depende da sua posição. Ela não deve ser confundido densidade de portadores de carga. Como relatado na química, a densidade de carga pode se referir a distribuição sobre o volume de uma partícula, átomo ou molécula. Assim, um catião de lítio possui mais densidade de carga do que um catião de sódio, pois o sódio possui raio atômico maior.

Densidade de carga clássica[editar | editar código-fonte]

Carga contínua[editar | editar código-fonte]

A integral da densidade de carga \alpha_q(\mathbf r), \sigma_q(\mathbf r), \rho_q(\mathbf r) sobre a linha l, superfície S, ou volume V, é igual a carga total Q desta região, definida como[1] :

Q=\int\limits_L \alpha_q(\mathbf r) dl,
Q=\int\limits_S \sigma_q(\mathbf r) dS,
Q=\int\limits_V \rho_q(\mathbf r) \,\mathrm{d}V.

Esta relação define densidade de carga matematicamente. Note que alguns símbolos utilizados para denotar várias dimensões podem variar dependendo do campo de estudo. Comumente a notação utilizada é \lambda, \sigma, \rho; or \rho_l, \rho_s, \rho_v para (C/m), (C/m²), (C/m³) respectivamente.

Densidade de carga homogênea[editar | editar código-fonte]

Para o caso de uma densidade de carga homogênea, que é independente da posição, é igual a \rho_{q,0}, a equação simplifica-se a:

Q=V\cdot \rho_{q,0}

A prova é simples. Comece com a definição de carga de um volume qualquer:

Q=\int\limits_V \rho_q(\mathbf r) \,\mathrm{d}V

Então, pela definição de homogeneidade, \rho_q(\mathbf r) é uma constante que será denotaremos \rho_{q,0} para diferenciar entre a forma constante e não constante, e então, pela propriedade da integral, ela pode ser levada para fora da integração, resultando em:

Q=\rho_{q,0} \int\limits_V \,\mathrm{d}V

Novamente, pelas propriedades das integrais:

\int\limits_V \,\mathrm{d}V = V

Entretanto, pela substituição:

\rho_{q,0} \int\limits_V \,\mathrm{d}V = V\cdot \rho_{q,0}

Que resulta em:

Q=V\cdot \rho_{q,0}

Que é precisamente o resultado mencionado acima para a densidade volumétrica de carga. As provas para a densidade linear e superficial são equivalentes e seguem os mesmos argumentos

Cargas discretas[editar | editar código-fonte]

Se a carga em uma região consiste de N portadores de cargas pontuais, tal como elétrons, a densidade de carga pode ser expressa pela função delta de Dirac. Por exemplo, a densidade volumétrica de carga é:

\rho_q(\mathbf r) =\sum_{i=1}^N q_i\cdot \delta(\mathbf r - \mathbf r_i).

Aqui, q_i é a carga e \mathbf r_i a posição do i-ésimo portador de carga. Se todos portadores de carga possuírem a mesma carga, então a densidade de carga pode ser expressa em função da densidade de portadores de cargas n(\mathbf r):

\rho_q(\mathbf r)=q\cdot\sum_{i=1}^N \delta(\mathbf r - \mathbf r_i)=q\cdot n(\mathbf r)

Novamente, as equações equivalentes para densidade de carga linear e superficial seguem diretamente das relações acima.

Densidade de carga quântica[editar | editar código-fonte]

Em mecânica quântica, densidade de carga é relacionado a função de onda  \psi(\mathbf r) pela equação

\rho_q(\mathbf r) = q\cdot|\psi(\mathbf r)|^2

quando a função de onda é normalizado como

Q= q\cdot \int |\psi(\mathbf r)|^2 \, d\mathbf r

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A densidade de carga aparece na equação de continuidade que segue das Equações de Maxwell no eletromagnetismo.

Referências