Densidade espectral

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Densidade espectral, ou power spectral density (PSD), ou energy spectral density (ESD); é uma função real positiva de uma frequência variável associada com um processo estocástico, ou uma função determinística do tempo, que possua dimensão de energia ou força por Hertz. Geralmente é chamada apelas por espectro do sinal. Intuitivamente, a densidade espectral auxilia na captura da frequência do processo estocástico e identifica periodicidades.

Na física, o sinal geralmente surge como uma função de onda, como por exemplo ocorre na radiação eletromagnética, ou em ondas sonoras. A densidade de espectro da onda, quando multiplicado pelo fator apropriado dá a força carregada pela onda, por unidade de frequência, tratada como a densidade espectral de força (power spectral density) do sinal. Ela é geralmente expressada na unidade Watts por Hertz (W/Hz \ ).[1]

Definição[editar | editar código-fonte]

Densidade espectral de energia[editar | editar código-fonte]

A densidade espectral de energia descreve como a energia de um sinal ou uma série temporal será distribuída com frequência. Se f(t) \ é uma função integrável de energia finita, a densidade espectral \Phi(\omega) do sinal será o quadrado da magnitude da transformada de Fourier do sinal.

\Phi(\omega)=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt\right|^2 = \frac{F(\omega)F^*(\omega)}{2\pi}

onde \omega é a frequência angular e F(\omega) é a transformada de Fourier de f(t), e F^*(\omega) é seu conjugado complexo.

Se os sinais forem discretos com valores f_n, sobre um infinito número de elementos, ainda têm-se uma densidade espectral de energia:

\Phi(\omega)=\left|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^\infty f_n e^{-i\omega n}\right|^2=\frac{F(\omega)F^*(\omega)}{2\pi}

onde F(\omega) é a transformada de Fourier de tempo discreto de f_n.

Densidade espectral de força[editar | editar código-fonte]

A definição acima de densidade espectral de energia requer que a transformada de Fourier exista, ou seja, que a integral quadrada seja calculável, isto nem sempre é possível. Uma alternativa mais comum é a densidade espectral de força, que descreve como a força de um sinal ou tempo serial é distribuído com frequência. Conceitua-se força como a força física ou, mais comumente, como a força dissipada à carga, se o sinal for uma tensão elétrica aplicada no sistema. Esta força instantânea é dada por

P(t) = s(t)^2 \

para um sinal s(t).

Já que um sinal com força média não nula não terá integral quadrada calculável, a transformada de Fourier não se aplicará a este caso. Sendo necessário recorrer ao Teorema de Wiener–Khinchin, o qual provê uma alternativa. Neste teorema o sinal pode ser tratado como um processo estacionário.[2] Que pode ser escrito como

S(f)=\int_{-\infty}^\infty \,R(\tau)\,e^{-2\,\pi\,i\,f\,\tau}\,d \tau=\mathcal{F}(R(\tau)).

A média do conjunto para o intervalo quando o tempo tender para o infinito pode ser provado (Brown & Hwang[3] ) pelo método da densidade espectral de força:

E\left[\frac{|\mathcal{F}(f_T(t))|^2}{T}\right] \to S(f)

A força do sinal na frequência dada pode ser calculada pela integral sobre as frequências positivas e negativas,

P=\int_{F_1}^{F_2}\,S(f)\,d f + \int_{-F_2}^{-F_1}\,S(f)\,df.

A densidade espectral de força de um dado sinal existe se e somente se o sinal pertencer a um processo estacionário. Se o sinal não for estacionário, então a função correlacional precisará ser uma função de duas variáveis e a densidade espectral de força não existirá.

A densidade espectral de força G(f) é definida como[4]

G(f)=  \int _{-\infty}^f S(f^\prime) \, df^\prime.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

O conceito de densidade espectral de um sinal é fundamental para a engenharia eletrônica, especialmente em telecomunicação. Muito esforço tem sido feito para se desenvolver o que ficou conhecido por analisador de espectro para auxiliar engenheiros dos mais diversos campos na medição e observação da densidade espectral de força de um sinal elétrico.

Referências

  1. Gérard Maral. VSAT Networks (em inglês). [S.l.]: John Wiley and Sons, 2003. ISBN 0470866845
  2. Dennis Ward Ricker. Echo Signal Processing (em inglês). [S.l.]: Springer, 2003. ISBN 140207395X
  3. Robert Grover Brown & Patrick Y.C. Hwang. Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons, 1997. ISBN 0471128392
  4. Wilbur B. Davenport & Willian L. Root. An Introduction to the Theory of Random Signals and Noise (em inglês). New York: IEEE Press, 1987. ISBN 0-87942-235-1

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]