Derivada

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No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função[1] . Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.

Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por

f'(a) ou por \frac{df}{dx}(a).

Click para uma maior imagem. Em cada ponto, a derivada de \scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2 é a tangente do ângulo que a reta tangente à curva faz em relaçao ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto \mathbb{R} dos números reais e seja f uma função de I em \mathbb{R} (função esta que é formalmente denotada por  f:I\rightarrow \mathbb{R}) . Se o ponto a\in I (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite [2] e o mesmo for finito

f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h, onde h=x-a\leftrightarrow x=a+h.

Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.
Inclinação da secante ao gráfico de f
Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

\frac{f(x+h)-f(x)}h.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de I em R contínua em a tal que

(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a).

Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a).

Funções com valores em R^n[editar | editar código-fonte]

Se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em \mathbb{R}^n, para algum número natural n, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array} (ou seja: uma função que a cada x do domínio em \mathbb{R} responde com uma coordenada no contradomínio em \mathbb{R}^n. Esta coordenada é (cosx,senx)).

é derivável e

(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Diferenciabilidade[editar | editar código-fonte]

Derivabilidade num ponto[editar | editar código-fonte]

  • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função de I em R derivável em a. Então f é contínua em a. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
  • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e sejam f e g funções de I em R deriváveis em a. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(a) ≠ 0) f/g também são deriváveis em a e:
    • (f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)
    • (f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)
    • (f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}

Em particular, se c ∈ R, então (c.f)'=c.f'. Resulta daqui e de se ter (f+g)'=f'+g' que a derivação é uma aplicação linear.

  • Sejam I e J intervalos de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I, seja f uma função de I em J derivável em a e seja seja g uma função de J em R derivável em f(a). Então g o f é derivável em a e
(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a).

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

  • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função contínua de I em R derivável em a com derivada não nula. Então a função inversa f^{-1} é derivável em f(a) e
(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}\cdot

Outra maneira de formular este resultado é: se a está na imagem de f e se f for derivável em f^{-1}(a) com derivada não nula, então

(f^{-1})'(a)=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(a)\bigr)}\cdot

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Gráfico de uma função derivável.

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Gráfico da função módulo, que não é derivável em 0.

Derivabilidade em todo o domínio[editar | editar código-fonte]

Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.

Uma função diferenciável
  • Uma função derivável f de I em R é constante se e só se a derivada for igual a 0 em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
  • Uma função derivável f de I em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a 0 em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.

Uma função cuja derivada seja sempre maior que 0 é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor 0 em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por f(x)=x^3. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.

  • Se f for uma função derivável de I em R, sendo I um intervalo de R com mais do que um ponto, então f'(I) também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se f for uma função derivável de [a,b] em R e se y for um número real situado entre f'(a) e f'(b) (isto é, f'(a) ≤ y ≤ f'(b) ou f'(a) ≥ y ≥ f'(b)), então existe algum c ∈ [a,b] tal que f'(c)=y. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

Funções continuamente deriváveis[editar | editar código-fonte]

Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto e seja f uma função de I em R. Diz-se que f é continuamente derivável ou de classe C^1 se f for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}x^2\mathop{\mathrm{sen}}(\frac1x)&\text{ se }x\neq0\\0&\text{ se }x=0\text{,}\end{cases}\end{array}

pois o limite \lim_{x\rightarrow0}f'(x) não existe; em particular, f' não é contínua em 0.

Derivadas de ordem superior[editar | editar código-fonte]

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:

\frac{df}{dx},\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right),\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\right)

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:

\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3}

ou alternativamente,

f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)

ou ainda

f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)

Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe Ck.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Se c ∈ R, a função f de R em R definida por f(x)=c é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 0 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R:

\lim_{x\rightarrow a}\frac{c-c}{x-a}=0.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir \phi_a de R em R por \phi_a(x)=0, então \phi_a é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

c=c+0.(x-a)=c+\varphi_a(x).(x-a);

além disso, f'(a)=\phi_a(a)=0.

A função f de R em R definida por f(x)=x é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a 1 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R:

\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}=1.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir \phi_a de R em R por \phi_a(x)=1, então \phi_a é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

x=a+1.(x-a)=a+\varphi_a(x).(x-a);

além disso, f'(a)=\phi_a(a)=1.

A função f de R em R definida por f(x)=x^2 é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto a ∈ R é igual a 2a, pois:

\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}x+a=2a.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir \phi_a de R em R por \phi_a(x)=x+a, então \phi_a é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se

x^2=a^2+(x^2-a^2)=a^2+\varphi_a(x).(x-a);

além disso, f'(a)=\phi_a(a)=2a.

A função módulo de R em R não é derivável em 0 pois

(\forall x\in\mathbb{R}):\frac{|x|-|0|}{x-0}=\begin{cases}1&\text{ se }x>0\\-1&\text{ se }x<0\end{cases}

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em a é igual a 1 quando a>0 e é igual a -1 quando a<0.

Pontos críticos, estacionários ou singulares[editar | editar código-fonte]

Pontos onde a derivada da função é igual a 0 chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos x. Estes pontos podem acontecer:

  1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
  2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
  3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função f(x)=x^3: no ponto x=0 a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
  4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função f(x) = x^3 sin(1/x)
  5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.

Derivadas notáveis[editar | editar código-fonte]

Alguns exemplos de derivadas notáveis são as funções exponencial, cuja derivada é ela própria, ou seja,\exp'=\exp, e logarítmica, pois, para cada x>0, \log'(x)=1/x, onde \log é o logaritmo natural). Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade \exp'=\exp e da fórmula para a derivada da inversa que (\forall x>0):\log'(x)=(\exp^{-1})'(x)=\frac1{\exp'\bigl(\exp^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{\exp(\log(x))}=\frac1x\cdot Reciprocamente, supondo-se que, para cada x>0, \log'(x)=1/x, então \exp'(x)=(\log^{-1})'(x)=\frac1{\log'\bigl(\log^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{1/\exp(x)}=\exp(x).

Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas e das Funções trigonométricas inversas. Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

Funções de uma variável complexa[editar | editar código-fonte]

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Física[editar | editar código-fonte]

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:

  • Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
  • Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.

Posto de outro modo:

\begin{align}v(t)&=\frac{ds}{dt}\\a(t)&=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\end{align}

Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

Derivadas parciais[editar | editar código-fonte]

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função para uma determinada variável, enquanto as outras se mantêm fixadas. No gráfico, é usada para determinar a variação da função em um determinado eixo. Derivadas parciais são representadas como, por exemplo, ∂z/∂x, sendo x a variável fixada sobre uma função em z.


Referências

  1. STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 159.
  2. STEWART, James. Curso de cálculo volume 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. 4ªa edição. ISBN 85-221-0236-8. Página 156.
  • Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
  • Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
  • Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]