Derivada

Topicos em Cálculo

Teorema fundamental Limite de uma função Continuidade Teorema do valor médio Cálculo  Derivada Mudança de variáveis Funções implícitas e explícitas Teorema de Taylor Taxas relacionadas Regras e identidades: Regra do produto, Regra do Quociente, Regra da cadeia Integral  Integral Tábua de integrais Integrais impróprias Integração por: partes, substituição trigonométrica, frações parciais, Ordem de integração Cálculo vetorial  Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Cálculo multivariável  Cálculo matricial Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana

No Cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.

Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por

$f'(a)\,$ ou por $\frac{df}{dx}(a)$.

Click para uma maior imagem. Em cada ponto, a derivada de $\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2$ é a tangente do ângulo que a reta tangente a curva faz em relaçao ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.

Definição formal

Seja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto $\mathbb{R}$ dos números reais e seja f uma função de I em $\mathbb{R}$ (função esta que é formalmente denotada por $f:I\rightarrow \mathbb{R}$) . Se o ponto $a\in I$ (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite e o mesmo for finito

$f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$, onde $h=x-a\leftrightarrow x=a+h$.

Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a e representa-se por f′(a). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.

Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, a inclinação da secante é igual à da tangente.

Inclinação da secante ao gráfico de f

Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)

O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e (x + h,f(x + h)) é dado pelo quociente de Newton:

$\frac{f(x+h)-f(x)}h$.

Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φ_a de I em R contínua em a tal que

$(\forall x\in I):f(x)=f(a)+\varphi_a(x).(x-a)$.

Então define-se a derivada de f em a como sendo φ_a(a).

Funções com valores em R$^n$

Se $I$ for um intervalo de R com mais do que um ponto e se $f$ for uma função de $I$ em $\mathbb{R}^n$, para algum número natural $n$, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim, por exemplo a função

$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\&x&\mapsto&(\cos(x),\operatorname{sen}(x))\end{array}$ (ou seja: uma função que a cada x do domínio em $\mathbb{R}$ responde com uma coordenada no contradomínio em $\mathbb{R}^n$. Esta coordenada é (cosx,senx)).

é derivável e

$(\forall x\in\mathbb{R}):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x)).$

De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Diferenciabilidade

Derivabilidade num ponto

• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função de $I$ em R derivável em $a$. Então $f$ é contínua em $a$. O recíproco não é verdadeiro, como se pode ver pela função módulo.
• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e sejam $f$ e $g$ funções de $I$ em R deriváveis em $a$. Então as funções $f$ ± $g$, $f.g$ e (caso $g(a)$ ≠ $0$) $f/g$ também são deriváveis em $a$ e:
  • $(f\pm g)'(a)=f'(a)\pm g'(a)$
  • $(f.g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,$
  • $(f/g)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$

Em particular, se $c$ ∈ R, então $(c.f)'=c.f'$. Resulta daqui e de se ter $(f+g)'=f'+g'$ que a derivação é uma aplicação linear.

• Sejam $I$ e $J$ intervalos de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$, seja $f$ uma função de $I$ em $J$ derivável em $a$ e seja seja $g$ uma função de $J$ em R derivável em $f(a)$. Então $g$ o $f$ é derivável em $a$ e

$(g\circ f)'(a)=g'(f(a)).f'(a)$.

Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia.

• Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, seja $a$ ∈ $I$ e seja $f$ uma função contínua de $I$ em R derivável em $a$ com derivada não nula. Então a função inversa $f^{-1}$ é derivável em $f(a)$ e

$(f^{-1})'(f(a))=\frac1{f'(a)}\cdot$

Outra maneira de formular este resultado é: se $a$ está na imagem de $f$ e se $f$ for derivável em $f^{-1}(a)$ com derivada não nula, então

$(f^{-1})'(a)=\frac1{f'\bigl(f^{-1}(a)\bigr)}\cdot$

Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Gráfico de uma função derivável.

Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Gráfico da função módulo, que não é derivável em $0$.

Derivabilidade em todo o domínio

Diz-se que f é derivável ou diferenciável se o for em todos os pontos do domínio.

Uma função diferenciável

• Uma função derivável $f$ de $I$ em R é constante se e só se a derivada for igual a $0$ em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média.
• Uma função derivável $f$ de $I$ em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a $0$ em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da média.

Uma função cuja derivada seja sempre maior que $0$ é estritamente crescente. Uma observação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivada assume o valor $0$ em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de R em R definida por $f(x)=x^3$. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções decrescentes.

• Se $f$ for uma função derivável de $I$ em R, sendo $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto, então $f'(I)$ também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este resultado é: se $f$ for uma função derivável de $[a,b]$ em R e se $y$ for um número real situado entre $f'(a)$ e $f'(b)$ (isto é, $f'(a)$ ≤ $y$ ≤ $f'(b)$ ou $f'(a)$ ≥ $y$ ≥ $f'(b)$), então existe algum $c$ ∈ $[a,b]$ tal que $f'(c)=y$. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux.

Funções continuamente deriváveis

Seja $I$ um intervalo de R com mais do que um ponto e seja $f$ uma função de $I$ em R. Diz-se que $f$ é continuamente derivável ou de classe $C^1$ se $f$ for derivável e, além disso, a sua derivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima são continuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não é continuamente derivável é

$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb{R}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\begin{cases}x^2\mathop{\mathrm{sen}}(\frac1x)&\text{ se }x\neq0\\0&\text{ se }x=0\text{,}\end{cases}\end{array}$

pois o limite $\lim_{x\rightarrow0}f'(x)$ não existe; em particular, f' não é contínua em $0$.

Derivadas de ordem superior

Quando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x e como tal também pode ser diferenciada. Calculando-se a derivada novamente obtemos então a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos nos referir às derivadas subsequentes de f por:

$\frac{df}{dx},\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right),\quad \frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)\right)$

e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregada é:

$\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3}$

ou alternativamente,

$f'(x),\quad f''(x),\quad f'''(x)$

ou ainda

$f^{(1)}(x),\quad f^{(2)}(x),\quad f^{(3)}(x)$

Se, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f^(k) for uma função contínua, diz-se que f é de classe C^k.

Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz-se que f é infinitamente derivável ou indefinidamente derivável ou ainda de classe C^∞.

Exemplos

Se $c$ ∈ R, a função $f$ de R em R definida por $f(x)=c$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $0$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{c-c}{x-a}=0$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi_a$ de R em R por $\phi_a(x)=0$, então $\phi_a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$c=c+0.(x-a)=c+\varphi_a(x).(x-a)$;

além disso, $f'(a)=\phi_a(a)=0$.

A função $f$ de R em R definida por $f(x)=x$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada é igual a $1$ em todos os pontos, pois, para cada $a$ ∈ R:

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{x-a}=1$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi_a$ de R em R por $\phi_a(x)=1$, então $\phi_a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$x=a+1.(x-a)=a+\varphi_a(x).(x-a)$;

além disso, $f'(a)=\phi_a(a)=1$.

A função $f$ de R em R definida por $f(x)=x^2$ é derivável em todos os pontos de R e a sua derivada no ponto $a$ ∈ R é igual a $2a$, pois:

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^2-a^2}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}x+a=2a$.

Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir $\phi_a$ de R em R por $\phi_a(x)=x+a$, então $\phi_a$ é contínua e, para cada $x$ e cada $a$ reais, tem-se

$x^2=a^2+(x^2-a^2)=a^2+\varphi_a(x).(x-a)$;

além disso, $f'(a)=\phi_a(a)=2a$.

A função módulo de R em R não é derivável em $0$ pois

$(\forall x\in\mathbb{R}):\frac{|x|-|0|}{x-0}=\begin{cases}1&\text{ se }x>0\\-1&\text{ se }x<0\end{cases}$

No entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em $a$ é igual a $1$ quando $a>0$ e é igual a $-1$ quando $a<0$.

Pontos críticos ou estacionários

Pontos onde a derivada da função é igual a $0$ chamam-se normalmente de pontos críticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Como a derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecem onde a reta tangente é paralela ao eixo dos $x$. Estes pontos podem acontecer:

1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função
2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função
3. em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função $f(x)=x^3$: no ponto $x=0$ a função tem um ponto de inflexão (horizontal).
4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função $f(x) = x^3 sin(1/x)\,$
5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.

Os pontos críticos são ferramentas úteis para examinar e desenhar gráficos de funções.

Derivadas notáveis

Alguns exemplos de derivadas notáveis são as funções exponencial, cuja derivada é ela própria, ou seja,$\exp'=\exp$, e logarítmica, pois, para cada $x>0$, $\log'(x)=1/x$, onde $\log$ é o logaritmo natural). Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversa da função exponencial, resulta da igualdade $\exp'=\exp$ e da fórmula para a derivada da inversa que $(\forall x>0):\log'(x)=(\exp^{-1})'(x)=\frac1{\exp'\bigl(\exp^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{\exp(\log(x))}=\frac1x\cdot$ Reciprocamente, se se suposer que, para cada $x>0$, $\log'(x)=1/x$, então $\exp'(x)=(\log^{-1})'(x)=\frac1{\log'\bigl(\log^{-1}(x)\bigr)}=\frac1{1/\exp(x)}=\exp(x).$

Também são notáveis as derivadas das funções trigonométricas e das Funções trigonométricas inversas. Neste último caso, as derivadas resultam das fórmulas para as derivadas das funções trigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmula fundamental da trigonometria.

Funções de uma variável complexa

Se A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a for um ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outros elementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazer sentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.

Física

Uma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é o conceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que é necessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, as derivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana:

• Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto.
• Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.

Posto de outro modo:

$\begin{align}v(t)&=\frac{ds}{dt}\\a(t)&=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\end{align}$

Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t² + 16t + 32, então a velocidade do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. Uma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento linear do objecto.

Derivadas parciais

Quando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito de derivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de uma função quando todas menos uma variável são mantidas constantes temporariamente. Derivadas parciais relativamente à variável x são representadas como ∂/∂x.

Derivadas fracionárias

Embora para a maioria dos profissionais de exatas obter uma derivada meiésima pareça procedimento metafísico, o estudo das derivadas fracionárias é tão antigo quanto a própria história do cálculo diferencial. A sugestão do cálculo fracionário surgiu da notação que veio a se tornar a mais empregada:

$\frac{df}{dx},\quad \frac{d^{2}f}{dx^2},\quad \frac{d^{3}f}{dx^3},\quad ...$

Essa notação foi criada por Leibniz em 1695. O assunto aparece explicitamente pela primeira vez em uma carta do Marquês de St. Mesme (L'Hospital) endereçada a Leibniz. Uma primeira aplicação do cálculo fracionário foi a solução do problema da Curva Tautocrônica, proposto por Niels Henrik Abel em 1820 e trabalhado por Dirichlet em 1840/1841. Existem aplicações das derivadas fracionárias no estudo de materiais com memória, fenômenos de difusão, epidemologia, vibrações mecânicas, etc.

Referências

• Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994
• Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981
• Ricieri, A. P., Derivada Fracionária, Transformada de Laplace e outros bichos, Prandiano, 1993, S. José dos Campos - SP - Brasil.

Ligações externas

• Rei da Derivada - Torneio inventado pelo prof. Ricardo Fragelli para ensino de derivadas
• Cálculo diferencial para funções trigonométricas (em português)
• tese de Engenharia Mecânica aplicando derivadas fracionárias (em português)
• Equações generalizadas de difusão (aplica derivadas parciais fracionárias) (em português)

Ver também

• Cálculo Diferencial e Integral
• Cálculo Fracionário
• Derivada simétrica, Diferenciação automática, Diferenciação numérica
• Diferintegral
• Classe de diferenciabilidade
• Linearização
• Tabela de derivadas
• Técnicas para diferenciação