Derivada fracionária

No contexto da análise matemática derivada fracionária é uma expansão de uma derivada.

Histórico e aplicações

Embora para a maioria dos profissionais de exatas obter uma derivada meiésima pareça procedimento metafísico, o estudo das derivadas fracionárias é tão antigo quanto a própria história do cálculo diferencial.

A idéia do Cálculo Fracionário surgiu com a notação de diferencial criada por Leibniz, em 1695, especificamente em uma carta do Marquês de St. Mesme (L'Hospital) endereçada a Leibniz.

Uma primeira aplicação do cálculo fracionário foi a solução do problema da Curva Tautocrônica, proposto por Niels Henrik Abel em 1820 e trabalhado por Dirichlet em 1840.

Existem aplicações das derivadas fracionárias no estudo de materiais com memória, fenômenos de difusão, epidemologia, vibrações mecânicas, etc.

Operacionalidade

Apesar do significado geométrico das derivadas fracionárias ainda não estarem claros sua operacionalidade é bem definida. Derivando sucessivas vezes f(x)=x^c veremos surgir um quociente entre dois fatoriais. Substituindo os fatoriais pela função gama obtém-se a generalização para derivadas de ordem qualquer .

A derivação desta classe de funções permite um estudo de outros casos via série de Taylor.

Para funções exponenciais o procedimento é muito mais direto. Por este motivo, funções trigonométricas são mais acessíveis a derivação generalizada uma vez transformadas em exponenciais pela fórmula de Euler.