Derivada material

Em matemática, a derivada material é uma derivada tomada ao longo de um caminho movendo-se com velocidade v, e é frequentemente utilizada em mecânica dos fluidos e mecânica clássica. Ela é descrita como a taxa de variação em relação ao tempo de alguma quantidade (tal como calor ou momento) que está sendo transportado por correntes de fluido.

Há vários outros nomes ao operador, incluindo:

• derivada convectiva
• derivada substantiva
• derivada substancial
• derivada Lagrangiana
• derivada de Stokes

Definição

A derivada material de um campo escalar φ( x, t ) e de um campo vetorial u( x, t ) são definidas respectivamente como:

$\frac{D\varphi}{Dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla \varphi,$

$\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{u},$

onde a distinção é que $\nabla \varphi$ é o gradiente de um escalar, enquanto $\nabla \mathbf{u}$ é a derivada tensorial de um vetor. No caso de uma derivada material de um campo vectorial, o termpo v•∇u pode tanto ser interpretado como v•(∇u) envolvendo a derivada tensorial de u, ou como as (v•∇)u, levando ao mesmo resultado.

Inconvenientemente, o termo derivada convectiva é utilizada por vezes tanto para se referir a derivada material Dφ/Dt ou Du/Dt, quanto para o termo referente a taxa de variação espacial, v•∇φ ou v•∇u. ent flows.

Ver também

• Equações de Navier-Stokes
• Equações de Euler (fluidos)