Derivada material

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Em matemática, a derivada material[1] [2] é uma derivada tomada ao longo de um caminho movendo-se com velocidade v, e é frequentemente utilizada em mecânica dos fluidos e mecânica clássica. Ela é descrita como a taxa de variação em relação ao tempo de alguma quantidade (tal como calor ou momento) que está sendo transportado por correntes de fluido.

Há vários outros nomes ao operador, incluindo:

  • derivada convectiva[3]
  • derivada substantiva[4]
  • derivada substancial[1]
  • derivada Lagrangiana[5]
  • derivada de Stokes[4]

Definição[editar | editar código-fonte]

A derivada material de um campo escalar φ( x, t ) e de um campo vetorial u( x, t ) são definidas respectivamente como:

\frac{D\varphi}{Dt} = \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla \varphi,
\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{u},

onde a distinção é que \nabla \varphi é o gradiente de um escalar, enquanto \nabla \mathbf{u} é a derivada tensorial de um vetor. No caso de uma derivada material de um campo vectorial, o termo v•∇u pode tanto ser interpretado como v•(∇u) envolvendo a derivada tensorial de u, ou como as (v•∇)u, levando ao mesmo resultado.[6]

Inconvenientemente, o termo derivada convectiva é utilizada por vezes tanto para se referir a derivada material Dφ/Dt ou Du/Dt, quanto para o termo referente a taxa de variação espacial, v•∇φ ou v•∇u.[2]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. a b Bird, R.B., Stewart, W.E. and Lightfoot, E.N.. Transport Phenomena. Revised Second Edition. ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, 2007. ISBN 978-0-470-11539-8. , p. 83.
  2. a b Batchelor, G.K.. An Introduction to Fluid Dynamics. [S.l.]: Cambridge University Press, 1967. ISBN 0521663962. , p. 72–73.
  3. Ockendon, H.; Ockendon, J.R.. Waves and Compressible Flow. [S.l.]: Springer, 2004. ISBN 038740399X. , p. 6.
  4. a b Granger, R.A.. Fluid Mechanics. [S.l.]: Courier Dover Publications, 1995. ISBN 0486683567. , p. 30.
  5. Mellor, G.L.. Introduction to Physical Oceanography. [S.l.]: Springer, 1996. ISBN 1563962101. , p. 19.
  6. Emanuel, G.. Analytical fluid dynamics. Second edition. ed. [S.l.]: CRC Press, 2001. ISBN 0849391148. pp. 6–7.