Derivada simétrica

figura 1

Em matemática, a derivada simétrica é uma operação relacionada à derivada ordinária. É conhecida também como derivada de Vallée Poussin ou derivada de Peano simétrica.

É definida como:

$$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}.$$

Ou seja, se uma função $f$ é simetricamente diferenciável em todos os pontos do intervalos, então tem derivadas simétricas nesse intervalo. Observando graficamente (figura 1) é possível notar que a interpretação da derivada e a interpretação da derivada simétrica parece ser a mesma, mas desde do ponto de vista analítico, ambos os conceitos não são equivalentes.

A esse limite denotaremos como _{$f'_{s}(x)$} .

Relação com a Derivada

Seja $f:I\to R$ uma função e $x_{0}$ Є $I$ . Suponha que $f'_{+}(x_{0})$ e $f'_{+}(x_{0})$ existem, então $f$ tem derivada simétrica em $x_{0}$, e

• $f'_{s}(x_{0})={\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}$ .

Demonstração:

Por hipótese existem $f'_{-}(x_{0})$ e $f'_{+}(x_{0})$. Nota-se que existe $f'_{s}(x_{0})$. Então tomando

$\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}}$

$\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})+f(x_{0})-f(x_{0}-h)}{2h}}$

${\frac {1}{2}}\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

${\frac {+1}{2}}\lim _{h\to 0+}{\frac {f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{-h}}$

${\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}$

com isso,

$f'_{s}(x_{0})={\frac {f'_{+}(x_{0})+f'_{-}(x_{0})}{2}}$ .

Observação 1 :

Se existir a derivada simétrica $f'_{s}(x_{0})$ então não significa que existem as derivadas $f'_{-}(x_{0})$ e $f'_{+}(x_{0})$ . Vejamos com um exemplo:

• Considere a função $f:R\to R$ definida como:

$f(x)=$

$xsen{\frac {1}{x}},\ se\ x$ ≠ $0$

$0,\ se\ x=0$.

Basta examinar se se a função $f$ tem derivada simétrica em $0$.

veja:

$f'_{s}(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})-[-hsen({\frac {-1}{h}})]}{2h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})-hsen({\frac {1}{h}})}{2h}}$

$=\lim _{h\to 0}0$

$=0$ , portanto a derivada simétrica de $f$ em zero existe e é igual a zero.

com isso, verifica-se que $f$ não tem derivada à direita em zero:

$$f'(0)=\lim _{h\to 0+}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}.$$

$=\lim _{h\to 0+}{\frac {hsen({\frac {1}{h}})}{h}}$

$=\lim _{h\to 0+}{sen({\frac {1}{h}})}$ , pois este limite não existe no zero e portanto $f$ não tem derivada pela direita no ponto zero e é fácil ver,analogamente, pela esquerda.

com isso mostra-se que se $f$ tem derivada simétrica em um ponto não necessariamente tem derivada nesse ponto.

Observação2:

Sabe-se da derivada que cada função diferenciável em um ponto é contínua nesse ponto. Mas uma função descontínua em um ponto pode ter derivada simétrica nesse ponto.Observe:

• Seja $f:R\to R$ uma função definida por :

$f(x)=$${\displaystyle }$$({\frac {1}{x^{2}}}\ se\ x$ ≠ $0$ e $0,\ se\ x=0)$ , esta função tem derivada simétrica em zero, note:

$f'_{s}(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {1}{h^{2}}}-{\frac {1}{h^{2}}}}{2h}}$

$\lim _{h\to 0}0=\ 0$ , portanto $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$ é diferenciável simetricamente em $x=0$, mas não é contínua em zero.Isso não ocorre com as funções diferenciáveis.

Observação 3:

• Seja $f:$ $R\to R$ uma função. Sabe-se que $f$ é uma função par se satisfaz $f(x)=f(-x)$, para todo $x$ Є $R$

Perceba que a função da Observação 1 é função par.

• Seja $f:R\to R$ uma função par, então $f$ tem derivada simétrica no ponto 0.

Demonstração:

Como $f$ é uma função par, temos que: $f(x)=-f(x)=0$, logo ${\frac {f(h)-f(-h)}{2}}={\frac {0}{2h}}$ então $\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}=0$, ou seja , $f'_{s}(x)=0.$

Referências

• Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. [S.l.]: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0