Desigualdade das médias

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A desigualdade das médias afirma que a média aritmética é maior ou igual à média geométrica e esta maior ou igual à média harmônica.

Mais precisamente falando, seja \{x_1,x_2,\ldots, x_n\} um conjunto não vazio de números reais positivos então:

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{x_i}\right)}

onde \sum_{i=1}^n x_i=x_1+x_2+\ldots+x_n, veja somatório.

e \prod_{i=1}^n x_i=x_1\cdot x_2\cdots x_n, veja produtório.


Demonstração do caso n=2[editar | editar código-fonte]

Queremos mostrar que:

\frac{x_1+x_2}{2} \geq \sqrt{x_1\cdot x_2} \geq \frac{2}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}

Como x_1 e x_2 são reais, temos:

(x_1-x_2)^2\geq 0

Expandindo, temos:

x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\geq 0

Somando 4x_1x_2, obtemos:

x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\geq 4x_1x_2

Reagrupando:

(x_1+x_2)^2\geq 4x_1x_2

Como são números positivos, podemos tomar a raiz quadrada e dividir por 2:

\frac{x_1+x_2}{2}\geq \sqrt{x_1x_2}

A primeira desigualdade segue. Para mostrar a segunda, escreva esta última como:

\frac{2}{x_1+x_2}\leq \frac{1}{\sqrt{x_1x_2}}

Multiplique ambos os lados por :x_1x_2:

\frac{2x_1x_2}{x_1+x_2}\leq \sqrt{x_1x_2}

E observe que esta é justamente a desigualdade que procuramos, pois:

\frac{2x_1x_2}{x_1+x_2}=\frac{2}{\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}}=\frac{2}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}}

E o resultado segue.

Demonstração no caso n=2^k[editar | editar código-fonte]

Queremos a igualdade para n=2^k, com k inteiro positivo.

Procederemos por indução em k: O caso k=1, já foi demonstrado.

Suponha então que a desigualdade é valida para um certo k positivo, escreva para n=2^k:

\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i= \frac{1}{2n}\left[\sum_{i=1}^n x_i+\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right]

Aplique a desigualdade da média com dois elementos:

\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i \ge \sqrt{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\cdot\left(\sum_{i=n+1}^{2n} x_i\right)}

Agora, aplique a desigualdade para n elementos em cada um dos termos:

\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i \ge \sqrt{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}\cdot\sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}}

E assim, conclua:

\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n} x_i \ge \sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}

E a primeira desigualdade segue pois 2n=2\cdot 2^k=2^{k+1}

Usemos o mesmo procedimento para demonstrar a segunda desigualdade:

\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}=\sqrt{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}\cdot\sqrt[n]{\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}}
\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}\ge \frac{2}{\frac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i}}+\frac{1}{\sqrt[n]{\displaystyle\prod_{i=n+1}^{2n} x_i}}}
\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}\ge \frac{2n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}+\displaystyle\sum_{i=n+1}^{2n} \frac{1}{x_i}}
\sqrt[2n]{\prod_{i=1}^{2n} x_i}\ge \frac{2n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{2n} \frac{1}{x_i}}

E a segunda desigualdade segue.

Demonstração do caso geral[editar | editar código-fonte]

Completaremos a demonstração, mostrando que se a desigualdade for válida para n termos, então também é válida para n-1 termos.

Suponha, então, que a desigualdade é válida para um número inteiro n maior que 1, ou seja:

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^n\left(\frac{1}{x_i}\right)}

Escreva:

  • p=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}x_i
  • q=\sqrt[n-1]{\prod_{i=1}^{n-1}x_i}
  • r=\frac{n-1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)}

Queremos mostrar que p\geq q\geq r

Substitua x_n=q\,

\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1} x_i+q\right) \geq \sqrt[n]{q\prod_{i=1}^{n-1} x_i} \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)+\frac{1}{q}}

Observe que:

\sqrt[n]{q\prod_{i=1}^{n-1} x_i}=\sqrt[n]{qq^{n-1}}=q

Assim temos, da primeira desigualdade:

\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n-1} x_i+q\right) \geq q

Rearranjando, temos:

p=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n-1} x_i \geq q

A segunda desigualdade diz:

q \geq \frac{n}{\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)+\frac{1}{q}}

O que equivale a:

\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)+\frac{1}{q}\geq \frac{n}{q}

ou:

\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)\geq \frac{n-1}{q}

Equivalente a:

q\geq \frac{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{1}{x_i}\right)}=r

O que completa a demonstração.

Ver também[editar | editar código-fonte]