Desigualdade de Bernoulli

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Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que:

(1+x)^n \ge 1+nx\,, sempre que x>-1 e n um número inteiro não negativo.

Esta desigualdade pode ser generalizada substituindo n por r um real maior ou igual a 1.

Demostração[editar | editar código-fonte]

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:

  • Base:
(1+x)^0 = 1 \geq 1.
  • Indução:

Pela hipótese de indução, temos:

(1+x)^n\geq 1 +nx

Multiplicado ambos os lados por (1+x) (que é um termo positivo uma vez que x>-1):

(1+x)^{n+1} \ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2

O termo nx^2 é positivo e portanto:

(1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x

Demonstração da versão mais geral[editar | editar código-fonte]

Defina a função auxiliar f(x) por:

f(x):=(1+x)^r-(1+rx)\,

Queremos mostrar que f(x)\geq 0 quando x>-1.

Tomando derivada em x, temos:

f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r\,

ou seja:

f'(x)=\left\{\begin{array}{rl}
<0,& -1<x<0\\
=0,& x=0\\
>0,& x>0
\end{array}\right.

Portanto, f(x) admite um mínimo global no ponto x=0, onde é nula. Assim concluímos:

f(x)\geq 0, x>-1\,

o que completa a demonstração.


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