Desigualdade de Bernoulli

Em matemática, a desigualdade de Bernoulli afirma que:

$(1+x)^n \ge 1+nx\,$, sempre que $x>-1$ e $n$ um número inteiro não negativo.

Esta desigualdade pode ser generalizada substituindo $n$ por $r$ um real maior ou igual a 1.

Demostração

Esta desigualdade pode ser provada por indução matemática, como se segue:

• Base:

$(1+x)^0 = 1 \geq 1$.

• Indução:

Pela hipótese de indução, temos:

$(1+x)^n\geq 1 +nx$

Multiplicado ambos os lados por $(1+x)$ (que é um termo positivo uma vez que $x>-1$):

$(1+x)^{n+1} \ge (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2$

O termo $nx^2$ é positivo e portanto:

$(1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x$

Demonstração da versão mais geral

Defina a função auxiliar $f(x)$ por:

$f(x):=(1+x)^r-(1+rx)\,$

Queremos mostrar que $f(x)\geq 0$ quando $x>-1$.

Tomando derivada em $x$, temos:

$f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r\,$

ou seja:

$f'(x)=\left\{\begin{array}{rl} <0,& -1<x<0\\ =0,& x=0\\ >0,& x>0 \end{array}\right.$

Portanto, $f(x)$ admite um mínimo global no ponto $x=0$, onde é nula. Assim concluímos:

$f(x)\geq 0, x>-1\,$

o que completa a demonstração.