Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Em Álgebra Linear e Geometria Analítica, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como a desigualdade de Schwarz, a desigualdade de Cauchy, ou a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, é uma desigualdade muito útil que aparece em vários contextos diferentes, tais como em análise, aplicando-se a séries infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.

A desigualdade garante que, para quaisquer dois vectores $x$ e $y$ de um espaço vectorial com produto interno, se tem

$| \langle x, y \rangle | \leq \|x\|\|y\|$

com igualdade se, e só se, x e y forem linearmente independentes .

Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecida por Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta por Hermann Amandus Schwarz (1888) (às vezes chamado erroneamente de "Schwartz").

Exemplos

Se x e y são vectores com n coordenadas a desigualdade toma a forma

$(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + \cdots + b_n^2).$

Em análise esta desigualdade pode ser aplicada a séries infinitas.

Demonstração

Como a desigualdade é trivialmente verdadeira no caso y = 0, podemos assumir que $\langle y, y \rangle$ é diferente de zero.

Seja $\lambda$ um número complexo. Então,

$0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2 = \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \bar{\lambda} \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle.$

Escolhendo

$\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}$

temos que

$0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}$

o que é verdadeiro, se e somente se

$\langle x,y \rangle^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle$

ou de modo equivalente:

$\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|.$ Q.E.D.

Demonstração 2 (Caso real)

Se $y$ for o vector nulo, o resultado é imediatamente verdadeiro. Suponhamos, agora, que $y \neq 0$.

Para um número real $t$, arbitrário, tem-se, pelas propriedades do produto interno:

$\langle x - ty, x -ty \rangle \geq 0$

Desenvolvendo esta desigualdade:

$\langle x - ty, x -ty \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \left ( x -ty \right )^T \left ( x - ty \right ) \geq 0$

$\Leftrightarrow \left ( x -ty \right )^T \left ( x - ty \right ) \geq 0 \Leftrightarrow \left ( x^T -ty^T \right ) \left ( x - ty \right ) \geq 0$

$\Leftrightarrow x^Tx -tx^Ty -ty^Tx +t^2y^Ty \geq 0 \Leftrightarrow x^Tx -2tx^Ty +t^2y^Ty \geq 0$

$\Leftrightarrow x^Tx -2tx^Ty +t^2y^Ty \geq 0$

O membro do lado esquerdo desta equação é um polinómio do segundo grau em $t$, com a concavidade voltada para cima, pois o termo em $t^2$ é a norma de um vector. Assim sendo, só será não-negativo (condição necessária para manter a desigualdade) se não tiver zeros, o que só acontece se o seu binómio discriminante for menor ou igual que zero. Simbolicamente:

$\Leftrightarrow x^Tx -2tx^Ty +t^2y^Ty \geq 0 \Leftrightarrow \left (-2x^Ty\right )^2 -4y^Tyx^Tx \leq 0$

$\Leftrightarrow 4 \left ( \left (x^Ty\right )^2 - y^Tyx^Tx \right ) \leq 0 \Leftrightarrow \left (x^Ty\right )^2 - y^Tyx^Tx \leq 0$

Sabendo que $x^Tx = \langle x, x\rangle = \|x\|^2$,

$\Leftrightarrow \langle x, y \rangle^2 -\|x\|^2 \|y\|^2 \leq 0 \Leftrightarrow \langle x, y \rangle^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2$

$\Leftrightarrow \langle x, y \rangle \leq \|x\| \|y\|.$ Q.E.D.

Para a última parte do teorema, basta observar que apenas haverá igualdade se a função em $t$ tiver uma única raíz real, o que só acontece se $\langle x - ty, x -ty \rangle = 0$ e implica que $x=ty$, que é o mesmo que dizer que os vectores são linearmente dependentes.

Ver Também

• Desigualdade triangular