Desigualdade de Jensen

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A desigualdade de Jensen, devida ao matemático Johan Ludwig Jensen [1] , é um resultado em estatística que diz que, para determinadas funções, o valor esperado de f(X) é maior ou igual que o valor f(E(X)). Este resultado é usado, por exemplo, para mostrar que se X for uma variável aleatória que tem média finita, então E(X2) ≥ E(X)2 (podendo E(X2) ser infinito).

Funções Convexas[editar | editar código-fonte]

Funções convexas são funções cujo gráfico está abaixo de (ou coincide com) qualquer corda traçada entre dois de seus pontos na região entre esses pontos. Isso é equivalente a dizer que o gráfico está acima de qualquer tangente a um de seus pontos. Aqui consideraremos uma noção mais fraca de tangente do que aquela dada pela derivada. Chamaremos tangente qualquer reta que intercepte o gráfico em um determinado ponto tal que existe uma vizinhança daquele ponto na qual não há pontos da reta abaixo do gráfico ou não há pontos da reta acima do gráfico.

Formalmente:

f((1-t)x_{0} + tx_{1}) \le (1-t)f(x_{0}) + tf(x_{1}) , para t \in [0,1]

A Desigualdade[editar | editar código-fonte]

Teorema[editar | editar código-fonte]

Seja f uma função convexa e p uma função de densidade de probabilidade associada a uma variável aleatória x. Nesse caso:

 E(f(x))\ge f(E(x))

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Tomaremos uma tangente ao gráfico no ponto E(x). Esta é uma reta que intercepta o gráfico no ponto (E(x), f(E(X)) e possui inclinação \lambda para algum \lambda\in\mathbb{R}.

f(x) \ge f(E(x)) + \lambda (x-E(x)), pela convexidade.

Multiplicando ambos os lados da desigualdade pela função não negativa p(x):

p(x)f(x) \ge p(x)f(E(x)) + \lambda p(x)(x-E(x))

Integrando ambos os lados com relação à variável aleatória x:


\begin{align}
\int p(x)f(x)  dx & \ge & \int  p(x)f(E(x))   dx + \int \lambda p(x)(x-E(x))  dx \\
\int p(x)f(x)  dx & \ge & \int  p(x)f(E(x))  dx + \int \lambda p(x)x dx - \int \lambda p(x)E(x) dx \\
\int p(x)f(x)  dx & \ge & f(E(x)) \int  p(x)  dx + \lambda \int p(x)x dx - \lambda E(x) \int  p(x) dx\\
\end{align}

Mas, \int p(x) dx = 1,   \int p(x)f(x) dx = E(f(x)) e  \int p(x)x dx = E(x), logo:

E(f(x)) \ge f(E(x)) \times 1 + \lambda \times E(x) - \lambda \times E(x) \times 1
\therefore E(f(x)) \ge f(E(x)) _{\square}

Referências

  1. Jensen, J. L. W. V. Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In Acta Math. 30, 175-193, 1906.