Desigualdade de Young

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Em matemática, a desigualdade de Young, devida ao matemático William Henry Young, afirma que se p e q são números reais positivos tais que 1/p + 1/q = 1, então, para todo par de números reais a e b não negativos vale a desigualdade:

ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}.

A igualdade vale se e somente se ap = bq. Algumas vezes, números reais positivos p e q com a propriedade mencionada são denominados conjugados de Lebesgue.

Young com \varepsilon[editar | editar código-fonte]

A desigualdade de Young também tem pode tomar a seguinte forma:

ab\leq\varepsilon a^p+C(\varepsilon)b^q

O que pode ser provado pelo seguinte:

ab = \left(\xi a\right)\left(\frac{b}{\xi}\right)\leq
\frac{1}{p}\left(\xi a\right)^p+\frac{1}{q}\left(\frac{b}{\xi}\right)^q=
\frac{\xi^p}{p}a^p+\frac{1}{q\xi^q}b^q

Escreva \varepsilon = \frac{\xi^p}{p}, ou seja, \xi=\left(\varepsilon p\right)^{1/p}

Conclua que:

ab\leq 
\varepsilon a^p+\frac{1}{q(\varepsilon p)^{q/p}}b^q = \varepsilon a^p+C(\varepsilon)b^q

Caso particular[editar | editar código-fonte]

Para o caso p = q = 2, a Desigualdade de Young, tem uma prova elementar, obtida ao se considerar para a e b reais ,

0 \leq (a-b)^{2} = a^2+b^2 - 2ab.

Ao somar 2ab a expressão anterior e dividir por 2 obtém-se o resultado procurado. A desigual de Young com ε é obtida da anterior considerando

a'=a/\sqrt{\varepsilon},\text{ }b'=b/\sqrt{\varepsilon}.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

A desigualdade de Young é utilizada na demonstração da desigualdade de Hölder, sendo também amplamente utilizada no estabelecimento de estimativas com normas em espaços de Sobolev com aplicações na teoria das EDPs não lineares.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

A prova no caso ab = 0 é trivial, então consideramos a, b > 0. Caso tenhamos ap = bq, usando que 1/p + 1/q = 1,

ab = a(b^q)^{1/q} = aa^{p/q} =a^{p/p}a^{p/q}  
=a^{p(1/p+1/q)}= a^p =a^p\cdot 1=a^p\cdot \Bigl({1\over p}+{1\over q}\Bigr)= {a^p \over p} + {b^q \over q},

Agora, para o caso apbp, note que a função f(x) = exp(x) é estritamente convexa, pois f"(x) > 0 para todo x real. Então, para todo t no intervalo (0,1) e todos números reais x,y com xy,

f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y).

Apliquemos isso para t = 1/p, 1 - t = 1/q, x = ln ap e y = ln bq


ab
=\exp(\ln ab)
=\exp\Bigl(\frac{\ln a^p}p + \frac{\ln b^q}q\Bigr)
<\frac{\exp(\ln a^p)}p+\frac{\exp(\ln b^q)}q
= \frac{a^p}p + \frac{b^q}q,

que demonstra o resultado.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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