Desigualdade triangular forte

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Desigualdade triangular forte, também chamada de desigualdade ultramétrica, em matemática, é um caso especial da desigualdade triangular.[1]

Um espaço métrico que tem esta propriedade é chamado de um espaço ultramétrico.[1]

A desigualdade triangular, que tem este nome por analogia à desigualdade entre os lados de um triângulo, em que um lado é sempre menor que a soma dos outros dois, é uma propriedade que caracteriza os espaços métricos, e é a expressão matemática da ideia de que ir de A para B, e em seguida de B para C, é pelo menos tão custoso quanto ir diretamente de A para C. Na desigualdade triangular forte, porém, o custo de ir de A para C não pode exceder ambos custos, ou seja, a distância entre A e C é menor ou igual à maior das distâncias entre A e B, e entre B e C.

Enquanto que a desigualdade triangular se escreve como:

d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c)

a desigualdade triangular forte coloca um limite superior ainda mais estrito, ou, mais especificamente:[1]

d(a, c) ≤ max(d(a, b), d(b, c))

Em particular, um corolário da desigualdade triangular forte é que, no triângulo A, B, C, de lados AB, AC e BC dados pelas distâncias d(A, B), d(A, C) e d(B, C), pelo menos dois dos lados (os dois lados maiores) são sempre iguais.[1]

A desigualdade triangular forte tem sua importância por estar associada aos números p-ádicos.[1] Mais especificamente, a métrica p-ádica definida em \mathbb{Q}\, e cuja completação gera os números p-ádicos, satisfaz à desigualdade triangular forte.[2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A métrica discreta, ou seja, aquela em que d(a, b) = 1 para a ≠ b [Nota 1]
  • Seja X o conjunto de descendentes em linhagem matrilineal, em determinado grau, de uma dada pessoa (digamos, as trisnetas de uma pessoa). Seja d(x, y) a quantidade de gerações que devemos subir a partir de x e y para encontrar um ancestral comum. Este é um espaço ultramétrico.[3]

Definição[editar | editar código-fonte]

Um espaço métrico (X, d) é um espaço ultramétrico quando a função distância d satisfaz o axioma da desigualdade triangular forte:[1]

d(a, c) ≤ max(d(a, b), d(b, c))

Aplicação[editar | editar código-fonte]

Um resultado importante onde aparece a desigualdade triangular forte é na caracterização dos "corpos valorados".[Nota 2] [4]

Um "corpo valorado" é um corpo K ao qual está associada uma função valor |.|, que associa a cada elemento x do corpo um número real não negativo, e que satisfaz as propriedades:[4] [Nota 3]

|0| = 0
|x| > 0 para todo x ≠ 0
|x y| = |x| |y|
|x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdade triangular)

A desigualdade triangular forte, neste caso, se escreve como:[2]

|a + b| \le \max(|a|, |b|)\,

O teorema que caracteriza todos estes corpos é que eles devem satisfazer necessariamente uma das duas propriedades seguintes:[4]

(1) K é isomórfico a um sub-corpo de \mathbb{C}\,
(2) K é não arquimediano, e a função valor satisfaz a desigualdade triangular forte

Os números p-ádicos são um caso de corpo K em que a função valor satisfaz a desigualdade triangular forte.[2] [4] [1]

Notas e referências

Notas

  1. Demonstração imediata.
  2. A literatura, em inglês, chamada estes corpos de valued field. Não foi possível encontrar um nome equivalente na literatura em português.
  3. Compare estas propriedades com as propriedades da norma em um espaço normado. Essencialmente, a diferença é na propriedade do produto, em que, no caso de uma norma, se escreve |λ v| = |λ| |v|, sendo λ um escalar e v um vetor.

Referências

  1. a b c d e f g Fionn Murtagh, Thinking Ultrametrically [pdf]
  2. a b c Silvio Levy, 23. Absolute value on fields [em linha]
  3. https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/book/ch1.pdf
  4. a b c d Wim H. Schikhof, Banach Spaces over Nonarchimedian Valued Fields [pdf]