Determinante de Slater

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O determinante de Slater é uma técnica matemática da mecânica quântica que se usa para gerar funções de onda antissimétricas que descrevam os estados colectivos de vários fermiões e que cumpram o princípio de exclusão de Pauli.

Este tipo de determinantes foram nomeados em referência a John C. Slater, físico e químico teórico americano.

Duas partículas[editar | editar código-fonte]

Para ilustrar o seu funcionamento pode-se considerar o caso mais simples: o de duas partículas. Se \boldsymbol{x}_1 e \boldsymbol{x}_2 são as coordenadas da partícula 1 e da partícula 2 respectivamente, pode-se gerar a função de ondas colectiva \Psi como produto das funções de onda individuais de cada partícula. Quer dizer:


\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) = \chi_1(\boldsymbol{x}_1)\chi_2(\boldsymbol{x}_2).


Esta expressão é conhecida como o produto de Hartree. De facto, este tipo de função de ondas não é válido para a representação de estados colectivos de fermiões já que esta função de ondas não é antissimétrica ante um intercâmbio de partículas. A função deve satisfazer a seguinte condição


\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) = -\Psi(\boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_1).


O produto de Hartree não satisfaz o princípio de Pauli. Este problema poderá ser resolvido se tivermos em conta a combinação linear de ambos os produtos de Hartree


\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\chi_1(\boldsymbol{x}_1)\chi_2(\boldsymbol{x}_2) - \chi_1(\boldsymbol{x}_2)\chi_2(\boldsymbol{x}_1)\right],


onde foi incluído um factor para que a função de ondas esteja normalizada convenientemente. Esta última equação pode ser reescrita como um determinante, da seguinte forma:



\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2) =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\left|
   \begin{matrix} \chi_1(\boldsymbol{x}_1) & \chi_1(\boldsymbol{x}_2) \\
                      \chi_2(\boldsymbol{x}_1) & \chi_2(\boldsymbol{x}_2) 
   \end{matrix} 
\right|,


conhecido como determinante de Slater das funções \chi_1 e \chi_2. As funções assim geradas têm a propriedade de anular-se si duas das funções de onda de uma partícula forem igual ou, o que é equivalente, dois dos fermiões estejam no mesmo estado quântico. Isto é equivalente a satisfazer o princípio de exclusão de Pauli.

Generalização a N partículas[editar | editar código-fonte]

Esta expressão pode ser generalizada sem grande dificuldade a qualquer número de fermiões. Para um sistema composto por N fermiões, define-se o determinante de Slater como



\Psi(\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \ldots, \boldsymbol{x}_N) =
\frac{1}{\sqrt{N!}}
\left|
   \begin{matrix} \chi_1(\boldsymbol{x}_1) & \chi_1(\boldsymbol{x}_2) & \cdots & \chi_1(\boldsymbol{x}_N) \\
                      \chi_2(\boldsymbol{x}_1) & \chi_2(\boldsymbol{x}_2) & \cdots & \chi_2(\boldsymbol{x}_N) \\
                      \vdots & \vdots && \vdots \\
                      \chi_N(\boldsymbol{x}_1) & \chi_N(\boldsymbol{x}_2) & \cdots & \chi_N(\boldsymbol{x}_N)
   \end{matrix} 
\right|.

O uso do determinante como gerador da função de ondas garante a antissimetríca com respeito ao intercâmbio de partículas, assim como a impossibilidade de que duas partículas estejam no mesmo estado quântico, aspecto crucial ao se tratar com fermiões.

No método de Hartree-Fock, um único determinante de Slater usa-se como aproximação à função de ondas electrónica. Em métodos de cálculo mais precisos, tais como a interacção de configuração ou o MCSCF, utilizam-se sobreposições lineares de determinantes de Slater.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]