Diferenciação de funções trigonométricas

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Função Derivada
\sin(x) \cos(x)
\cos(x) -\sin(x)
\tan(x) \sec^2(x)
\cot(x) -\csc^2(x)
\sec(x) \sec(x)\tan(x)
\csc(x) -\csc(x)\cot(x)
\arcsin(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\arccos(x) \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
\arctan(x) \frac{1}{x^2+1}

A diferenciação de funções trigonométricas é o processo matemático de encontrar a taxa na qual a função trigonométrica varia em relação a uma variável, isto é, a derivada da função trigonométrica. Funções comuns incluen sin(x), cos(x) e tan(x). Por exemplo, na diferenciação de f(x) = sin(x), calculamos a função f ′(x), que é a taxa de variação de sin(x) num certo ponto a. O valor da taxa de variação em a é portando dada por f ′(a).

Para calcular as derivadas de funções trigonométricas, é necessário ter conhecimento básico de diferenciação, além de conhecimento no uso de identidades trigonométricas e limites. Todas funções envolvem a variável arbitrária x, com todas diferenciações realizadas em relação a x.

Ao encontrarmos as derivadas das funções sin(x) e cos(x), podemos calcular as derivadas das outras funções trigonométricas com facilidade, devido ao fato delas poderem ser expressas em termos de seno e cosseno; a regra do quociente é utilizada para o cálculo de tais derivadas. As provas das derivadas das funções sin(x) e cos(x) são dadas na seção de provas. Encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas envolve diferenciação implícita e as derivadas das funções trigonométricas regulares, que são dadas na seção de provas.

Derivadas das funções trigonométricas e suas inversas[editar | editar código-fonte]

 \left(\sin(x)\right)' = \cos(x)
 \left(\cos(x)\right)' = -\sin(x)
 \left(\tan(x)\right)' = \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)' = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)
 \left(\cot(x)\right)' = \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)' = \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} =-(1+\cot^2(x)) = -\csc^2(x)
 \left(\sec(x)\right)' = \left(\frac{1}{\cos(x)}\right)' = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)}.\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x)
 \left(\csc(x)\right)' = \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)' = -\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin(x)}.\frac{\cos(x)}{\sin(x)} = -\csc(x)\cot(x)
 \left(\arcsin(x)\right)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \left(\arccos(x)\right)' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
 \left(\arctan(x)\right)' = \frac{1}{x^2+1}

Provas das derivadas das funções seno e coseno[editar | editar código-fonte]

Limite de sin(θ)/θ para θ → 1[editar | editar código-fonte]

Considere a circunferência unitária exibida na imagem. Assuma que o ângulo θ, feito pelos raios OB e OC seja pequeno, e.g. menor que π/2 radianos, i.e. 90°. Seja T1 o triângulo com vértices O, B e C. Seja S o setor circular dado pelos raios OB e OC (i.e. a "fatia" dada cortando-se ao longo das retas OB e OC). Seja T2 o triângulo com vértices O, B e D. Claramente, a área de T1 é menor que a área de S, que por sua vez é menor que a área de T2, i.e. área(T1) < área(S) < área(T2). A área do triângulo é dada pela metade do produto entre sua base e sua altura. Usando u para denotar a unidade de medida utilizada, encontramos que a área de T1 é exatamente 12 × ||OB|| × ||CA|| = 12 × 1 × sin(θ) = 12·sin(θu2. A área do setor circular S é exatamente 12·θ u2. Finalmente, a área do triângulo T2 é exatamente 12 × ||OB|| × ||BD|| = 12·tan(θu2.

Como área(T1) < área(S) < área(T2) encontramos que, para um θ pequeno,

 \frac{1}{2}\sin\theta < \frac{1}{2}\theta < \frac{1}{2}\tan\theta \, .

(Lembre-se que tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).) Se isto é verdade, então multiplicando por 2 temos sin(θ) < θ < tan(θ). Invertendo os termos, também invertemos as desigualdades, e.g. 2 < 3 enquanto 12 > 13. Segue-se que

 \frac{1}{\sin \theta} > \frac{1}{\theta} > \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \, .

Como θ é pequeno, e portanto menor que π/2 radianos, i.e. 90°, segue-se que sin(θ) > 0. Podemos multiplicar ambos lados por sin(θ), que é positivo, sem alterar a desigualdade; portanto:

 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, .

Isto nos diz que para um θ muito pequeno, sin(θ)/θ é menor que um, mas maior que cos(θ). Porém, com θ diminuindo, cos(θ) cresce e se aproxima de 1 (see the cosine graph). A desigualdade nos diz que sin(θ)/θ é sempre menor que 1 e maior que cos(θ); mas conforme 'θ diminui, cos(θ) se aproxima de 1. Portanto, sin(θ)/θ é "esmagado" (ver teorema do confronto por 1 e cos(θ) quando θ decresce. Isto faz com que sin(θ)/θ se aproxime a 1.

Limite de [cos(θ) – 1]/θ para θ → 0[editar | editar código-fonte]

Esta última seção nos permite calcular este novo limite com facilidade. Sabemos que

 \lim_{\theta \to 0} \left(\frac{\cos\theta - 1}{\theta}\right) = \lim_{\theta \to 0} \left[ \left( \frac{\cos\theta -1}{\theta} \right) \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \right] = \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos^2\theta- 1}{\theta(\cos\theta + 1)} \right) .

A identidade sin2θ + cos2θ = 1 nos diz que cos2θ – 1 = –sin2θ. Usando isto, o fato de o limite do produto ser o produto do limite, e o resultado da última seção, encontramos

 \lim_{\theta \to 0} \left(\frac{\cos\theta - 1}{\theta}\right) = \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \right) = \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{-\sin\theta}{\theta}\right) \times \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) = (-1) \times \frac{0}{2} = 0 \, .

Derivada da função seno[editar | editar código-fonte]

Para calcular a derivada da função seno, sin(θ), usamos princípios básicos de derivação. Por definição:

 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin(\theta + \delta)- \sin \theta}{\delta} \right) .

Usando a conhecida fórmula sin(α+β) = sin(α)cos(β) + sin(β)cos(α) e os limites calculados acima, encontramos que

 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} \right) = \lim_{\delta \to 0} \left[ \left(\frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta\right) + \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta\right) \right] = (1\times\cos\theta) + (0\times\sin\theta) = \cos\theta \, .

Derivada da função coseno[editar | editar código-fonte]

Para calcular a derivada da função cosseno, cos(θ) usamos princípios básicos de diferenciação. Por definição:

 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta} \right) .

Usando a conhecida fórmula cos(α+β) = cos(α)cos(β) – sin(α)sin(β) e os dois limites calculados acima, encontramos que

 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\cos\theta\cos\delta -\sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} \right) = \lim_{\delta \to 0} \left[ \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta\right) - \left(\frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta\right) \right] = (0 \times \cos\theta) - (1 \times \sin\theta) = -\sin\theta \, .

Provas das derivadas das funções trigonométricas inversas[editar | editar código-fonte]

Nas provas abaixo, igualamos y a função trigonométrica inversa que queremos derivar. Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx, a derivada da função inversa é encontrada em termos de y. Para converter dy/dx de volta em termos de x, podemos desenhar um triângulo de referência na circunferência unitária, igualando θ a y. Usando o teorema de Pitágoras e as definições das funções básicas trigonométricas, podemos finalmente expressar dy/dx em termos de x.

Diferenciando a inversa da função seno[editar | editar código-fonte]

Fazemos

y=\arcsin x\,\!

Onde

-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}

Então

\sin y=x\,\!

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

{d \over dx}\sin y={d \over dx}x
{dy \over dx}\cos y=1\,\!

Substituindo  \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} acima,

{dy \over dx}\sqrt{1-\sin^2 y}=1

Substituindo x=\sin y acima,

{dy \over dx}\sqrt{1-x^2}=1
{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Diferenciando a inversa da função cosseno[editar | editar código-fonte]

Fazemos

y=\arccos x\,\!

Onde

0 \le y \le \pi

Então

\cos y=x\,\!

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

{d \over dx}\cos y={d \over dx}x
-{dy \over dx}\sin y=1

Substituindo \sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\! acima, temos

-{dy \over dx}\sqrt{1-\cos^2 y} =1

Substituindo x=\cos y\,\! acima, temos

-{dy \over dx}\sqrt{1-x^2} =1
{dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Diferenciando a função tangente inversa[editar | editar código-fonte]

Fazemos

y=\arctan x\,\!

Onde

-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}

Então

\tan y=x\,\!

Usando diferenciação implícita e resolvendo para dy/dx:

{d \over dx}\tan y={d \over dx}x
{dy \over dx}\sec^2 y=1

Derivando e substituindo em 1+\tan^2 y = \sec^2 y\,\! dada a expressão acima,

{dy \over dx}(1+\tan^2 y)=1

Substituindo x=\tan y\,\! acima,

{dy \over dx}(1+x^2)=1
{dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}


Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).
Trigonometria
Função trigonométrica | Função trigonométrica inversa

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