Dimensão (matemática)

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Na matemática, a dimensão de um espaço é o número de parâmetros necessários para identificar um ponto desse espaço.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

  • A dimensão de \R^n é n\,, isto é, cada ponto de \R^n é descrito por n\, números reais.
  • A dimensão real de \mathbb{C}^n é 2n\,, isto é, cada ponto de \mathbb{C}^n é descrito por 2n\, números reais.
  • A dimensão complexa de \mathbb{C}^n é n\,, isto é, cada ponto de \mathbb{C}^n é descrito por n\, números complexos.
  • A dimensão de um espaço vectorial é o número de vectores de qualquer base desse espaço.

Contexto[editar | editar código-fonte]

É importante observar que a dimensão está vinculada à forma como o espaço se apresenta.

Assim, considerado como um espaço vetorial sobre os números reais \mathbb{R}\,, o espaço dos números complexos \mathbb{C}\, tem dimensão 2; considerado como um espaço vetorial sobre os números racionais \mathbb{Q}\,, a sua dimensão é 2^{\aleph_0}\, (a potência do contínuo).

Analogamente, \mathbb{Q}[i,\sqrt{3}]\, é um espaço de dimensão 2 sobre \mathbb{Q}[\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}]\,, mas é um espaço de dimensão 4 sobre \mathbb{Q}\,

Como outro exemplo, tome-se o espaço de Hilbert cuja base de Hilbert seja enumerável. No contexto dos espaços de Hilbert, ele tem, obviamente, dimensão \aleph_0\,, porém, visto como espaço vetorial, a sua dimensão é 2^{\aleph_0}\,.