Discussão:Grupo (matemática)

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Operação binária[editar | editar código-fonte]

Acho que a definição deve conter a informação que a operação deve ser binária. Para contornar este problema acrescentei um texto sobre o assunto após a definição.

Possíveis acréscimos, alterações de ordem e anotações de nomenclatura[editar | editar código-fonte]

Gostaria de sugerir o seguinte, tanto para esse artigo, como para os demais artigos relacionados com "estruturas algébricas" no qual tem o "link" que me levou até aqui. Claro fica que estou tão somente colocando esse assunto em discussão, para que a contribuição de todos e a vontade da maioria se imponha (se já não é assim nesses artigos, já que eu sou um neófito aqui) e, se for o caso, aceitar uma ou mais sugestões que aqui coloco:

  1. trocar a ordem das propriedades que definem o grupo, para que o fechamento seja colocado em primeiro lugar
  2. ressaltar (mesmo que como comentário em "small") que existem pelo menos essas duas vias alternativas de definir semigrupos e monoides

dada pela seguinte ordem de propriedades:

    1. fechamento: dado  a,b \in G o elemento resultante da composição de a e b pertence a G ( a*b \in G )
    2. associatividade: para todos  a,b,c \in G vale  \left(a*b\right)*c = a*\left(b*c\right) = a*b*c
    3. existência do elemento neutro: existe um único e tal que para todo  a \in G vale  a*e = a = e*a
    4. existência de inversos: para todo  a \in G existe um único  a^{-1} tal que  a*a^{-1} = e = a^{-1}*a

Pelo que me consta existe certas diferenças entre alguns autores:

para uns, semigrupos englobam as propriedades 1 e 2 e monóides englobam 1,2 e 3, ao passo que grupos seriam essas 4 mesmo, como está no artigo (óbvio). Para outros, semigrupos seriam sinônimos de monóides, e englobariam as propriedades 1, 2 e 3

Talvez abordagens semelhantes sejam extensíveis a outros conceitos listados em "estruturas algébricas"

Sobre os axiomas[editar | editar código-fonte]

Na minha opiniao, o mais bacana e' sempre reduzir os axiomas ao minimo possivel. Para o caso de um grupo, entao, seria mais sensato remover o axioma de fechamento ja' que a operacao binaria ja' implica fechamento. Entretanto, a gente comenta que e' comum encontrar o axioma de fechamento. A gente tambem comenta que a propriedamente de fechamento e' implicada pela operacao binaria.

Definicao: um grupo e' um par (G, #), onde G e' um conjunto nao-vazio e # e' uma operação binária satisfazendo os seguintes axiomas:

  1. Para todo elemento a, b, c em G, e' verdade que (a#b)#c = a#(b#c).
  2. Existe um elemento e em G tal que, para todo g em G, e' verdade que e#g = g#e = g.
  3. Para todo g em G, existe um elemento -g tal que g # -g = -g # g = e.

--dbastos 07:45, 12 Fevereiro 2006 (UTC)

Creio que tods estão de acordo que as duas definições devem estar presentes no artigo. Contudo, acho que a definição que coloca explicitamente o fechamento como um axioma é mais clara para leigos no assunto, que geralmente aprendem sobre grupos sem aprender antes a definição de operação binária. --E2m 18:42, 12 Fevereiro 2006 (UTC)

PS: Dbastos, há, apesar disso, uma série de artigos sobre estruturas algébricas nos quais os axiomas nem estão listados. Essa pode ser uma boa tarefa para você, que aparente interesse nessa área de álgebra abstrata. --E2m 18:42, 12 Fevereiro 2006 (UTC)

E2m, eu acho que didatico seria mostrar como o axioma e' derivado. Apresentar o iniciante com um axioma como fechamento acaba dando a ideia de que o grupo e' fechado por definicao e que isso nao tem relacao com a operacao binaria. E ainda, se o iniciante souber que o fechamento vem automaticamente da operacao binaria, ele passa a saber que sempre que ele ouvir as palavras "operacao binaria", ele ja' que o sistema e' fechado sob a operacao. Mas enfim, isso ja' e' uma questao didatica, o que vai resultar em uma discussao sobre a psicologia do aprendizado humano. Eu acho que o artigo deveria ser, entretanto, no estilo matematico.

Voce ta' sugerindo pra eu iniciar artigos que ainda nao foram iniciados? Acho que e' uma boa ideia. Eu vou tentar iniciar alguma coisa por la'. Eu preciso, entretanto, configurar meu teclado pra poder acentuar sem dificuldade. --dbastos 20:00, 12 Fevereiro 2006 (UTC)

Não precisamos entrar em uma discussão sobre a psicologia humana, basta ver o que os livros didáticos preferem. Tenho a impressão por meio do meu estudo pessoal que livros mais didáticos explicitam o fechamento. Eu particulamente estudei grupos sem saber o que é uma operação binária. Note bem que não estou dizendo que no artigo não há espaço para as duas definições.
Sobre a minha sugestão, estou dizendo que talvez fosse interessante procurar os artigos sobre estruturas algébricas que não existem ou que não contêm definições para adicioná-las. --E2m 20:09, 12 Fevereiro 2006 (UTC)

Eu acho que deve ser explicitado o fechamento. A única alteracão que eu faria é remover o fechamento da lista de axiomas. A razão é porque o fechamento não é um axioma; se listamos como axioma, estamos repetindo a definicão de operacão binária; mas sim, sem dúvida que eu explicitaria a respeito. De repente é uma boa colocar a definicão com 3 axiomas lá e explicitar que existe essa diferenca de exposicão.

Eu estou procurando aqui coisas que eu possa adicionar. Eu consegui configurar meu teclado, ou quase isso: meu c-cedilha atualmente é um c-acentuado na verdade; assim: ć. Legal essa discussão aqui contigo. A propósito, eu estou intercalando meus comentários com os seus. Isso é o indicado a fazer? Ou eu deveria abrir mais um nível de margem pra diferenciar meus parágrafos dos seus? --dbastos 20:29, 12 Fevereiro 2006 (UTC)

A forma dos comentários está perfeita, é assim mesmo que funciona. Que briga com o teclado, não? O artigo que queria indicar para você mais acima é estrutura algébrica, no singular. Sbre a questão dos axiomas, acho que mais gente deveria opinar, senão ficaremos nós dois discutindo eternamente. Note que isso não impede o trabalho no artigo, pois ainda há muita coisa a ser feita. --E2m 20:39, 12 Fevereiro 2006 (UTC)

Concordo de fato que é uma maneira bem interessante de expormos a definição de um grupo retirando o axioma sobre o fechamento. No entanto, estes comentários me levaram a ler o artigo sobre operação binária (leiam). Na verdade, um operador binário (composição) num conjunto S que toma dois elementos de S como argumento, retorna um elemento de S (ou seja, é um mapeamento f : SxS -> S). Mas, ao ler o tal artigo, não sei se só pra mim, ficou a impressão de que uma das possíveis propriedades da operação binária é o fechamento. O que vocës acham? Thiago Schiavo (discussão) 12h49min de 26 de Julho de 2007 (UTC)

Tem toda a razão. Os artigos estavam incongruentes. Já coloquei uma adenda na propriedade do fechamento em operação binária. Salgueiro discussão 09h01min de 29 de Julho de 2007 (UTC)