Discussão:Número cardinal

História

A parte de história deve ser corrigida.

Eu acho que:

"Cantor foi o primeiro a estabelecer a cardinalidade como um instrumento para comparar conjuntos finitos; por exemplo, os conjuntos {1,2,3} e {2,3,4} não são iguais, mas têm a mesma cardinalidade: três."

é falso. O "paradoxo de Galileu" (conhecido de antes de Galileu) e muitos trabalhos, em particular o de Bolzano parecem contradizer essa afirmação.

"Cantor identificou o fato que a correspondência um-para-um é a maneira de dizer que dois conjuntos têm o mesmo tamanho, chamado "cardinalidade", no caso de conjuntos finitos. Usando esta correspondência de um-para-um, ele aplicou o conceito de conjuntos infinitos, por exemplo, o conjunto de números naturais \mathbb{N} = {0, 1, 2, 3, ...}. Ele chamou esses números cardinais de números cardinais transfinitos, e definiu que todos os conjuntos que tenham uma correspondência com \mathbb{N} são conjuntos enumeráveis (contável infinito)."

Essa ideia de correspondência já existia. O problema de Cantor era evitar os paradoxos.

"Nomeando este número cardinal \aleph_0, aleph-null, Cantor provou que qualquer subconjunto ilimitado de \mathbb{N} tem a mesma cardinalidade que \mathbb{N}, mesmo que à primeira vista isso possa parecer funcionar, são contrários à intuição."

Isso é o paradoxo de Galileu.

Tem de ser melhor escrito e explicado: não me parece maneira de colocar o assunto numa enciclopédia:

"Ele também mostrou que o conjunto de todos os pares ordenados de números naturais é enumerável (o que implica que o conjunto de todos os números racionais é enumerável), e mais tarde mostrou que o conjunto de todos os números algébricos é também enumerável. Cada número algébrico z podem ser codificados como uma sequência finita de números inteiros cujos coeficientes na equação polinomial de que é a solução, ou seja, a n-tupla ordenada (a_0, a_1, ..., a_n),\; a_i \in \mathbb{Z}, juntamente com um par de racionais (b_0, b_1) tais que z é a única raiz do polinômio com coeficientes (a_0, a_1, ..., a_n) que se situa no intervalo (b_0, b_1)."

Isso gerou a discussão da boa ordem e, depois, do axioma da escolha:

"Cantor também desenvolveu uma grande parte da teoria geral dos números cardinais, ele provou que há um número cardinal transfinito menor (\aleph_0, aleph-null) e que para todo número cardinal, há um próximo cardinal maior (\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots)."

Escrever formalmente, com relação a ZFC:

"Sua hipótese do contínuo é a proposição que \mathfrak{c} é a mesma que \aleph_1, mas este foi encontrado para ser independente dos axiomas padrão da teoria dos conjuntos da matemática, ele nem pode ser provado nem refutado sob os padrões pressupostos."

--Carlos Gonzalez (discussão) 19h27min de 22 de junho de 2012 (UTC)