Distância Hausdorff

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Componentes usados no cálculo da distância de Hausdorff entre a linha verde X e a linha azul Y.

Na matemática, a Distância Hausdorff, ou métrica Hausdorff, também chamado de Distância Pompeiu-Hausdorff, mede o quão distante dois subconjuntos do espaço de metrica estão um do outro. [1]

De modo informal, dois conjuntos estão pertos, do ponto de vista da distância Hausdorff, se todo ponto de cada conjunto está perto a algum ponto do outro conjunto. A Distância Hausdorff é a maior distância que pode ser forçado a trafegar por um adversário que escolhe um ponto de um dos dois conjuntos, de onde você então deve viajar até o outro conjunto. Em outras palavras, é o mais distante ponto de um conjunto que você pode estar para um ponto próximo de um conjunto diferente.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja X e Y dois subconjuntos não vazios de um espaço métrico (Md). Nós definimos a distância Hausdorff d H(X, Y) por:

 d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\{\,\sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y),\, \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y)\,\}\mbox{,} \!

Onde sup representa o supremo e inf o ínfimo.

Aplicações[editar | editar código-fonte]

Em visão computacional, a distância Hausdorff pode ser usadas para encontrar uma dada estrutura numa imagem alvo. A estrutura dada e a imagem são frequentemente pré-processados para detecção de bordas. Então cada ponto ativo nas duas imagens são tratados como pontos de um conjunto, representando o formato. O algoritmo tenta então minimizar a distância Hausdorff entre os dois conjuntos, assim a parte da imagem com o menor valor de distância pode ser considerada a estrutura procurada.[2]

Em computação gráfica, essa medida de distância pode ser usadas para medir a distância entre duas representações do mesmo objeto 3D[3] particularmente quando se procura um nível de detalhe ideal para apresentação eficiente de modelos 3D complexos.

Referências

  1. Hausdorff metric -- PlanetMath
  2. Hausdorff-Based Matching
  3. P. Cignoni, C. Rocchini, R. Scopigno, "Metro: Measuring Error on Simplified Surfaces", Computer Graphics Forum, Volume 17, Number 2, June 1998, pp. 167-174