Distribuição Erlang

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A distribuição Erlang é uma distribuição de probabilidade contínua com uma ampla aplicabilidade, principalmente devido à sua relação com a distribuição exponencial e a distribuição gama. A distribuição Erlang foi desenvolvida por Agner Krarup Erlang para analisar o número de chamadas telefônicas que poderiam ser feitas simultaneamente aos operadores das estações de comutação. Atualmente esta distribuição é utilizada em várias áreas que aplicam processos estocásticos.

Sua função densidade de probabilidade é dada por

f(x; k,\lambda)={\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad\mbox{para }x,\lambda\geq0.

Uma alternativa usa o parâmetro de escala \mu = \frac{1}{\lambda}:

f(x; k,\mu)=\frac{ x^{k-1} e^{-\frac{x}{\mu}} }{\mu^k(k-1)!}\quad\mbox{para }x,\mu\geq0.

Sua função distribuição acumulada pode ser expressa por

F(x; k,\lambda) = \frac{\gamma(k, \lambda x)}{(k-1)!}

sendo \gamma(.,.) a função gama incompleta que é dada por

 \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!

Outra expressão para a função distribuição acumulada é

 F (x, k, \lambda) = 1 - \sum_{n = 0}^{k-1} \frac{e ^{- \lambda x} (\lambda x) ^ {n}}{ n!}

Entre as aplicaçações desta distribuição, a distribuição Erlang, mede o tempo entre as chamadas recebidas e pode ser usado em conjunto com a duração prevista de chamadas telefônicas para produzir informações sobre o tráfego medido em Erlang unidades. Pode ser usado para determinar a probabilidade de perda de pacotes ou atrasos em uma rede de computadores que utiliza algum protocolo de internet.

No ponto de vista dos processos estocásticos, a distribuição Erlang é a distribuição da soma de k variáveis aleatórias, independentes e identicamente distribuídas exponencialmente[1] .

Os gráficos das funções de densidade de probabilidade e de probabilidade acumulada são apresentadas, respectivamente, abaixo

Probability density plots of Erlang distributions Cumulative distribution plots of Erlang distributions

Referências

  1. Cox, D.R. (1967) Renewal Theory, p20, Methuen.